Покажем, что величину пройденного пути можно представить как площадь фигуры, которая ограничена кривой зависимости величины скорости v от времени t. Построим график функции v=v(t) (рис. 22). Произведение υі∆tі численно равно площади заштрихованной (і-й) полоски.

Сумма таких произведений будет равна площади, ограниченной осью t прямыми t=t1 и t=t2, а также ломаной линией, образованной верхними краями

всех подобных полосок. При стремлении ∆tі к нулю ширина всех полосок убывает (одновременно число их растет) и ломаная линия в пределе сольется с кривой

Рис.22

Таким образом, путь, пройденный за время с момента t1 до момента t2 численно равен площади фигуры, ограниченной графиком υ=υ(t), осью времени t и прямыми t=t1 и t=t2.

§5. Равномерное движение

Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по величине, называется равномерным.

При равномерном движении все υі в формуле (4.3) будут одинаковы и равны v. Общий множитель v можно вынести за знак суммы:

Сумма элементарных промежутков времени дает время t, за которое точка проходит путь s1. Таким образом, можно написать:

Из формулы (5.1) следует, что при равномерном движении скорость равна пути s деленному на время t за которое он пройден:

Согласно (5.2) можно сказать, что скорость при равномерном движении равна по величине пути, проходимому движущейся точкой за единицу времени. При неравномерном движении такое утверждение несправедливо. В этом случае можно сказать, что скорость в данный момент времени t равна по величине тому пути, который прошла бы точка за единицу времени, если бы она в дальнейшем сохранила то значение скорости, которое у нее было в момент t.

1 Буква t может применяться как для обозначения промежутка времени (как это сделано в данном случае), так и для обозначения момента времени (так, например, было сделано в начале §3), Следует строго различать эти два случая.

20

§6. Проекции вектора скорости на координатные оси

В определяющем скорость выражении (3.2) под знаком предела стоит вектор ∆r/∆t. Взяв в (3.2) вместо этого сектора его проекцию на какое-либо направление, мы, очевидно, получим проекцию вектора v на то же направление:

Как видно из рис. 23, проекции вектора ∆r на оси координат равны приращениям соответствующих координат переместившейся точки:

Подставляя эти выражения в формулу (6.1), получим проекции вектора скорости на координатные оси:

В физике производные величин по времени t принято обозначать символом соответствующей величины с точкой над ним, например:

Используя эти обозначения, проекции сектора v на координатные оси можно записать следующим образом:

3аметим, что формулы (6.2) можно получить из формул (2.11), положив в последних А=r.

§7. Ускорение

Согласно сказанному в §2 о производной вектора быстрота изменения скорости материальной точки v со временем t характеризуется величиной

21

какой знак имеет ωx . Интегрируя функцию (8.2) в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем формулу для пройденного пути (см. (4,4)):

где ω — величина алгебраическая.

Отметим, что эта формула дает правильный результат для пройденного пути только в том случае, если за время t направление движения точки (знак скорости) не изменяется.

§9. Ускорение при криволинейном движении

Прежде чем приступить к нахождению ускорения в общем случае, рассмотрим простейший случай криволинейного движения — равномерное движение точки по окружности,

Пусть в рассматриваемый момент времени t точка находится в положении 1 (рис. 24).

Рис. 24.

Спустя время t точка окажется в положении 2, пройдя путь s, равный дуге 1—2. При этом скорость точки v получает приращение v, в результате чего вектор скорости, оставаясь неизменным по величине (при равномерном движении |v|=const), повернется на угол Δφ,

где R — радиус окружности, по которой движется точка.

Найдем приращение вектора скорости v. Для этого перенесем вектор (v+ v) так, чтобы его начало совпадало с началом вектора v. Тогда вектор v изобразится отрезком, проведенным из конца вектора v в конец вектора (v+ v). Этот отрезок служит основанием равнобедренного треугольника со сторонами v и (v+ v) и углом Δφ при вершине. Если угол Δφ невелик (что выполняется для малых t), для сторон этого треугольника можно приближенно написать:

23

| ν | υ ϕ 1

Вектор v можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор такого же направления, как и у v. Обозначим этот единичный вектор n'. Тогда

v =| v | n′ υΔϕn′.

единичный вектор n' в пределе сольется с единичным вектором и, нормальным к окружности в точке 1 и направленным к центру. Таким образом,

Найденное нами ускорение направлено по нормали к траектории; его называют нормальным ускорением и обозначают wn (как мы уже поступили в выражении (9.3)). Модуль нормального

ускорения

Чем больше искривлена траектория (чем меньше R окружности), тем больше wn при той же величине скорости υ. За меру кривизны принимается величина 1R , которую называют кривизной окружности.

Очевидно, что ускорение точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. В дальнейшем для простоты мы ограничимся рассмотрением только плоских кривых. Кривизна плоской линии в какой–либо ее точке равна кривизне окружности, сливающейся в данном месте с кривизной на бесконечно малом ее участке. Такую окружность называют кругом кривизны плоской линии в данной точке. Чтобы получить круг кривизны в точке 1 (рис. 25),

Рис. 25.

нужно поступить следующим образом. Возьмем на кривой точки 2 и 3, близкие к точке 1. Проведем через 1, 2 и 3 окружность. Предельное положение этой окружности, получающееся при неограниченном приближении точек 2 и 3 к точке 1, и будет представлять собой круг кривизны. Радиус этого круга дает радиус кривизны линии в точке 1, а центр круга – центр кривизны для точки 1.

Аналитически кривизна кривой C определяется выражением

C = lim Δϕ = dϕ , s→0 s ds

1 Нельзя писать Δυ . В данном случае Δυ =0.

24

Повторив рассуждения, которые привели нас к формуле (9.4), можно получить, что

единичным

Рис. 27.

вектором нормали к траектории в точке 1. Обозначим этот предел wn :

Второй предел (обозначим его wτ ) с учетом (9.5) равен

При переходе к пределу вектор τ′ совпадет с τ — единичным вектором, направленным по касательной к траектории в точке 1 в сторону движения и тождественным единичному вектору скорости v (см. (2.6)):

26

τ = υv .

Окончательно,

Итак, вектор w может быть представлен в виде суммы двух векторов wn и wτ (рис. 28), один из которых (wn) перпендикулярен к вектору скорости v и направлен к центру кривизны траектории, а второй (wτ) направлен по касательной к траектории. Если скорость растет по

величине ( ddtυ положительно), то wτ направлен в сторону движений, если скорость по величине

убывает ( ddtυ отрицательно), то wτ направлен в сторону, противоположную направлению

движения.

Вектор wτ называют тангенциальным ускорением. Он характеризует изменение скорости по величине. Если скорость по величине не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю и w=wn.

Вектор wn (нормальное ускорение) характеризует изменение скорости по направлению. Если направление скорости не изменяется, движение происходит по прямолинейной траектории. Кривизна прямой равна нулю (радиус кривизны R соответственно равен бесконечности), следовательно, нормальное ускорение равно нулю и w=wτ

В общем случае модуль полного ускорения равен (рис. 28):

Рис. 28.

27