Заменив в уравнении (78.2) υ его значением (78.7) и внеся в скобки ω , получим уравнение

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет отличаться от (78.8) только знаком при члене kx.

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным.

В случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, порождаемая точечным источником волна будет сферической. Предположим, что фаза колебании источника равна ωt . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r,

будут колебаться с фазой ω(t − r /υ ) (чтобы пройти путь r, волне требуется время

τ = r /υ ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r (см. §82). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

где а — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины (размерность r).

Напомним, что в силу сделанных вначале предположений уравнение (78.9) справедливо только при значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

§79. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

В предыдущем параграфе мы получили уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х. Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении,

Возьмем волновую поверхность (плоскость)» отстоящую от начала координат на расстоянии

199

подразумевая, что берется только вещественная часть этого выражения.

§80. Волновое уравнение

Оказывается, что уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (79.7), описывающей плоскую волну. Продифференцировав (79.7) дважды по каждой из переменных, получим:

1 Левая часть этого уравнения может быть записана более компактно с помощью оператора Лапласа . Оператором Лапласа обозначают символически совокупность действий, которые дают сумму вторых частных производных по х, у, z от функции этих переменных:

Используя оператор Лапласа, уравнение (80.4) можно записать в виде

201

Уравнение (80.4) и есть искомое волновое уравнение. Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (79.7), но и любая функция вида

Действительно, обозначая выражение, стоящее в скобках в правой части (80.5), через ξ , имеем;

Аналогично

Подстановкой выражений (80,6) и (807) в уравнение (80.4) легко убедиться в том, что функция (80.5) удовлетворяет волновому уравнению, если положить υ = ω / k .

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вила (80.4), описывает некоторую волну,

d 2ξ

причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при dt2 , дает фазовую

скорость этой волны. В зависимости от дополнительных условий, которые накладываются на решение уравнения (80.4), получается та либо иная волна.

§81 Скорость распространения упругих волн

Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем высотой x с площадью основания S (рис. 197).

Рис. 197.

Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 194, на котором изображено ξ в функции от х). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ξ , то смещение основания с координатой x+ x будет ξ + ξ . Следовательно, рассматриваемый объем деформируется — он получает

202

удлинение ξ ( ξ —алгебраическая величина; ξ < 0 соответствует сжатию цилиндра)

силу того, что ξ меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в

разных сечениях цилиндра будет неодинакова. Чтобы получить деформацию ε в сечении x, нужно устремить x к нулю. Следовательно,

напряжения σ при малых деформациях пропорционального величине деформация. Согласно

(45.5)

фиксированный момент времени зависят от х (рис. 198).

Рис. 198.

Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т.е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как уже отмечалось в §77, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 197, и напишем для него уравнение движения. Беря x очень малым, ускорение цилиндра можно принять равным

d 2ξ

dt2 . Масса цилиндра равна pS x, где ρ — плотность недеформированной среды. Сила,

действующая на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечении (x + x + ξ + ξ ) и в сечении (x + ξ )

203

d 2ξ

где под dx2 подразумевается значение второй производной ξ по x в сечении х.

Ввиду малости величин x, ξ , ξ и применим к выражению (81.3) преобразование (81.4):

dξ

(относительное удлинение dx при упругих деформациях бывает много меньше единицы.

Поэтому ξ << x , так что слагаемым ξ в сумме ( x + ξ ) можно пренебречь).

Подставляя массу, ускорение и силу в уравнение второго закона Ньютона, получим:

Наконец, сокращая на S x, приходим к уравнению

которое представляет собой волновое уравнение (80.4), написанное для частного случая, когда ξ не зависит от y и z.

Сопоставляя (81.5) с (80.4), находим, что

Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды.

Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к следующему выражению для скорости:

где G — модуль сдвига.

204