На рис. 165 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.
Каждое конкретное колебание характеризуется определенными значениями амплитуды а и начальной фазы α . Значения этих величин для данного колебания могут быть определены из так называемых начальных условий т. е. по значениям отклонения х0 и скорости υ0.
R начальный момент времени. Действительно, положив 4 (62.7) и (62.12) t=0, получим два уравнения:
x0 = α cosα ,υ0 |
|
= −αω0 sinα , |
|
||
из которых находим, что |
|
|
|
|
|
a = x2 |
+ |
υ 2 |
, |
(62.14) |
|
0 |
|||||
0 |
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
tgα = − |
|
υ0 |
. |
(62.15) |
|
|
|
||||
|
|
x0ω0 |
|
|
|
Уравнение (62.15) удовлетворяется двумя значениями α , лежащими в интервале от -π до +π. Из этих значений нужно взять то, при котором получаются правильные знаки у косинуса и синуса.
§63. Энергия гармонического колебания
Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как мы выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Ер так:
E = Ep max |
= |
ka |
2 |
(63.1) |
2 |
, |
|||
|
|
|
|
при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Еk max:
E = E |
k max |
= |
mυmax2 |
= |
ma2ω02 |
(63.2) |
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
||||
(выше было показано, что амплитуда скорости равна α ω0). Легко видеть, что выражения (63.1) и (63.2) равны друг другу, так как согласно (62.5) mω02 =k
Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еp энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна [см. выражение (62.12) для x]
Ek |
= mx2 |
= |
ma2ω02 |
sin2 (ω0t + α ). |
(63.3) |
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
Потенциальная энергия выражается формулой
Ep |
= kx2 |
= ka2 |
cos2 (ω0t + α ). |
(63.4) |
|
2 |
2 |
|
|
Складывая (63.3) и (63.4), с учетом соотношения (62.5), получим:
E = Ek + Ep = |
ka2 |
или |
ma2ω02 |
, |
(63.5) |
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
||
168
Рис. 166.
что совпадает с (63.1) и (63.2), Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной.
Используя известные формулы тригонометрии, выражениям для Ek и Ер можно придать вид
Ek = E sin2 (ω0t + α ) = E |
1 |
− |
1 |
cos 2 |
(ω0t + α ) |
, |
(63.6) |
||||
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ep |
= E cos2 (ω0t + α ) = E |
1 |
+ |
1 cos 2 |
(ω0t + α ) |
, |
(63.7) |
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
где Е — полная энергия системы. Из формул (63.6) и (63.7) видно, что Ek и Ер изменяются с частотой 2ω0, т. е, с частотой, в 2 раза превышающей частоту гармонического колебаний.
На рис. 166 сопоставлены графики для x, Ek и Ер. Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине. Следовательно, среднее значение Ek совпадает со средним значением Eр и равно E/2.
§64. Гармоническим осциллятор Систему, описываемую уравнением |
|
x + ω02 x = 0, |
(64.1) |
где ω02 - постоянная положительная величина [см. (62.6)], называют гармоническим
осциллятором (или гармоническим вибратором). Как мы уже знаем, решение уравнения (64.1) имеет вид:
x = a cos(ω0t + α ). |
(64.2) |
Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия.
169
Все результаты, полученные в предыдущих параграфах для гармонического колебания, справедливы, разумеется, и для гармонического осциллятора. Рассмотрим дополнительно еще два вопроса.
Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцировав (64.2) по времени и умножив полученный результат на массу осциллятора m, получим
p = mx = −maω0 sin (ω0t + α ). |
(64.3) |
В каждом положении, характеризуемом отклонением х, осциллятор имеет некоторое значение импульса р. Чтобы найти р как функцию x, нужно исключить время t из уравнении (64.2) и (64.3). Для этого представим указанные уравнения в виде
ax = cos(ω0t + α ),
p |
= − sin (ω0t + α ). |
|
maω0 |
||
|
Возведя эти выражения в квадрат и складывая, получим:
x2 |
+ |
p2 |
= 1. |
(64.4) |
|
a2 |
m2aω02 |
||||
|
|
|
На рис. 167 изображен график, показывающий зависимость импульса р гармонического осциллятора от отклонения х. Координатную плоскость p, х принято называть фазовой плоскостью, а соответствующий
Рис. 167.
график — фазовой траекторией, В соответствии с (64.4) фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями а и maω0. Каждая точка фазовой траектории изображает отклонение х и импульс p, т. е. состояние осциллятора для некоторого момента времени, С течением времени точка, изображающая состояние (ее называют кратко изобразительной точкой), перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход. Легко убедиться в том, что перемещение изобразительной точки совершается по часовой стрелке. В самом деле, возьмем такой момент времени t’, что ω0t’+α =2πп (п- целое число). Этому моменту времени соответствует x=а и р=0 (см. точку I на рис. 167). В последующие моменты времени х будет убывать, а р принимает все возрастающие по модулю отрицательные значения. Следовательно, изобразительная точка движется так, как показано стрелкой на рис. 167, т. е. по часовой стрелке. Найдем площадь эллипса. Как известно, она равна произведению полуосей эллипса, умноженному на π:
S = π amaω |
0 |
= 2π |
ma2ω02 |
. |
|
||||
|
ω0 |
2 |
|
|
|
|
|
170
В соответствии с (63.5) ma2ω02 /2 есть полная энергия осциллятора; величина 2π/ω0 равна
1/υ0, где υ0 — собственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной. Следовательно, площадь эллипса может быть представлена в виде
S = 1 E,
ν 0
Откуда
E = ν 0S. |
(64.5) |
Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора.
Площадь эллипса может быть вычислена как интеграл ∫ pdx. Поэтому формуле (64.5) можно придать следующий вид:
E = ν 0 ∫ pdx.
Последнее соотношение сыграло большую роль при создании основ квантовой механики.
Рис. 168.
Теперь рассмотрим вопрос о вероятности, с которой осциллятор может быть обнаружен в различных положениях. Скорость осциллятора достигает наибольшего значения в те моменты, когда он проходит через положение равновесия. В моменты же наибольшего отклонения от положения равновесия скорость обращается в нуль. Отсюда следует, что вероятность обнаружить осциллятор вблизи одного из крайних положений будет больше, чем вероятность обнаружить его вблизи положения равновесия. Это поясняется рис. 168, на котором изображена кривая, определяющая так называемую плотность вероятности dw/dx1. Для того чтобы найти вероятность dw нахождения осциллятора в пределах данного dx, нужно ординату кривой в соответствующем месте умножить на dx. Например, площадь заштрихованной полоски на рис. 168 численно равна вероятности dw того, что осциллятор будет обнаружен в пределах данного интервала dx. Вся площадь под кривой плотности вероятности дает вероятность того, что
1 Эта кривая описывается уравнением
dw |
= |
1 |
. |
|
dx |
π a2 − x2 |
|||
|
|
171