A = ∫l fdx,

0

где буквой x обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до ∆l.

Сила f соответствующая удлинению x,согласно(45.6) равна

Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l заменяя затем отношение l / l относительным удлинением ε и учитывая, наконец, что Sl дает объем стержня V получим:

Введем в рассмотрение плотность энергии u, которую определим как отношение энергии U к тому объему V, в котором она заключена:

u = UV .

Поскольку в нашем случае стержень однороден и формация является равномерной, т, е, одинаковой в равных точках стержня, энергия (45.14) распределена стержне также равномерно

Выражение (45.15) дает плотность энергии упругой формации при растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что плотность энергии упругой деформации

Глава VI. Всемирное тяготение

§46. Закон всемирного тяготения

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения.

Согласно этому закону сила, с которой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где γ — коэффициент пропорциональности, называем гравитационной постоянной.

Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 128). Формула (46.1) дает численное значение равных по величине сил f12 и f21.

1 Приравняв найденную работу потенциальной энергии, мы положили .энергию недеформированного тела равной нулю.

134

взять радиус шара (расстоянием от второго тела до поверхности шара, а также размерами второго тела можно пренебречь по сравнению с R).

С коэффициентом пропорциональности γ в уравнении (46.1) нецелесообразно поступать

так, как мы поступили с коэффициентом пропорциональности в уравнении второго закона Ньютона (т. е. делать его равным единице за счет выбора единицы измерения силы), поскольку в этом случае пришлось бы при рассмотрении различных физических явлений пользоваться разными единицами измерения одной и той же величины — силы. Если же пользоваться для измерения величин, входящих в (46.1), ранее установленными единицами, то гравитационная постоянная у оказывается размерной величиной, численное значение которой должно быть установлено опытным путем. Размерность γ в соответствии с (46.1) равна

Численное значение γ было определено путем измерения силы, с которой притягиваются

друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают большие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силон порядка 10 -G н, т.е. порядка 10-4 Г

Первой успешной попыткой определения γ были измерение осуществленные Кавендишем

(1798 г.) который применил для измерения сил весьма чувствительный метод крутильных весов (рис.130). Два свинцовых шара m (с массой 729 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла» помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу. Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами m и M. Наиболее точным из определенных разными способами считается значение

γ = 6.670 10−11 м3 / кг сек2.

Рис. 130.

Если в (46.5) подставить m1, m2 и r, равные единице, то сила оказывается численно равной γ . Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1

м, притягиваются взаимно с силой, равной 6,670*10-11 н.

136