x = mlIC .

В результате действия силы тело приобретает кинетическую энергию

Зависимость Т от l объясняется тем, что путь, проходимый точкой приложения силы за время ∆t, растет с увеличением l, а следовательно, растет и работа, совершаемая силой над телом.

§42. Свободные оси. Главные оси инерции

Если какое-либо тело привести во вращение вокруг произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменяется: ось либо поворачивается, либо перемещается относительно инерциальной системы отсчета. Для того чтобы произвольно взятую ось вращения тела удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы.

Например, если тело имеет такую форму, как на рис. 113, и вращается вокруг оси ОО с угловой скоростью ω, то, чтобы удерживать ось вращения неподвижной, необходимо

приложить к ней силы, обеспечивающие вращательный момент M = mω 2rl .

Рис. 113.

В самом деле, чтобы осуществить движение масс m по окружностям радиуса r, к ним должны быть приложены силы f΄1 f΄2, каждая из которых равна mω2r. Эти силы образуют пару с

моментом M = mω 2rl . Если не создать этого момента, поместив, например, ось в подшипники, которые действуют на ось с соответствующими силами f1 и f21, то ось вращения будет поворачиваться в направлении, указанном стрелкой.

Если стержень, связывающий массы т, перпендикулярен к оси вращения ОО и массы находятся на различных расстояниях r1 и r2 от оси (рис. 114), то для предотвращения перемещения оси в пространстве подшипники должны действовать на ось с одинаково направленными силами f1 и f2, сумма модулей которых равна разности модулей центростремительных сил f΄1 и f΄2:

f1 + f2 = mω 2 (r1 − r2 )

1 Направления этих сил будут изменяться с поворотом тела вокруг оси.

120

(при равенстве отрезков а и b силы f1 и f2 будут одинаковы по величине; в противном случае должно выполняться условие: f1a=f2b).

Рис. 114.

Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия на нее какихлибо сил извне, называется свободной осью тела. В случае, изображенном на рис. 114, при r1=r2 ось ОО будет, очевидно свободной осью.

Можно доказать, что для любого тела существуют три взаимно-перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.

У однородного параллелепипеда (рис. 115) главными осями инерции будут, очевидно, оси O1O1, О2О2 и О3О3, проходящие через центры противолежащих граней.

Рис. 115

У тела, обладающего осевой симметрией (например, у однородного1 цилиндра), одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут служить две любые взаимно-перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящие через центр инерции тела {рис. 116). Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции.

1 Достаточно, чтобы плотность тела была в каждом сечении функцией только рассстояния от оси симметрии.

121

возрастает. При отклонении вращения от устойчивой оси под действием возникающих при этом сил тело возвращается к вращению вокруг соответствующей главной оси.

В сказанном можно убедиться, попытавшись подбросить какое-либо тело, имеющее форму параллелепипеда (например, коробок спичек), приведя его одновременно во вращение1. При этом обнаружится, что тело, падая, может вращаться устойчиво вокруг осей, проходящих через наибольшие или наименьшие грани. Попытки же подбросить тело так, чтобы оно вращалось вокруг оси, проходящей через средние грани, будут безуспешными.

При наличии внешнего воздействия, например, со стороны нити, за которую подвешено вращающееся тело, устойчивым оказывается только вращение вокруг главной оси, соответствующей наибольшему значению момента инерции. По этой причине тонкий стержень, подвешенный на нити, прикрепленной к его концу, при быстром вращении будет в конечном итоге вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр (рис. 117, а). Аналогичным образом ведет себя диск, подвешенный на прикрепленной к его краю нити (рис. 117, 6).

справедливо только в том случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси, т. е. вокруг оси, удерживаемой в пространстве подшипниками, или вокруг свободной оси. В иных случаях связь между L и ω значительно усложняется, в частности, вектор момента импульса L не совпадает по направлению с вектором угловой скорости ω.

Направим оси координат2 по главным осям инерции тела. Пусть вектор ω не совпадает ни с одной из этих осей (рис. 118).

Рис. 118.

Тогда все его составляющие по осям — ωх, ωy, ωz — будут, вообще говоря, отличны от нуля. Произведение Izωz дает согласно (43.1) составляющую вектора L по оси z. Аналогично Ixωx дает составляющую Lx a Iyωy — составляющую Ly. Если моменты инерции относительно главных осей Iх, Iy, Iz не равны между собой, то результирующий вектор L = Lx + Ly + Lz , как

видно из рис. 118, не совпадает по направлению с вектором ω Только при условии, что ω направлена по одной из главных осей, скажем по оси z, составляющие ω по остальным осям (т.

1Воздействие силы тяжести в этом случае не является существенным. Оно лишь обусловливает происходящее наряду с вращением падение тела.

2Имеются в виду оси, жестко связанные с телом и вращающиеся вместе с ним.

123