Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю.

Взяв от векторов, стоящих в левой и правой частях уравнения (37.11), их составляющие по оси z, придем к соотношению:

Может случиться, что результирующий момент внешних сил относительно точки О отличен от нуля (М≠0), однако равна нулю составляющая Мz вектора М по некоторому направлению z. Тогда согласно (37.12) будет сохраняться составляющая Lz момента импульса системы по оси z.

§38 Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось z (рис. 99).

Рис. 99.

Все плоскости могут вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью ω.

Согласно формуле (11.6) тангенциальная составляющая скорости i-й точки может быть представлена в виде:

vτi = [ω, Ri ],

где Ri — перпендикулярная к оси z составляющая радиус-вектора ri [ее модуль Ri дает расстояние точки от оси z]. Подставив это значение vτi в формулу (37.4), получим выражение для момента импульса точки относительно оси z:

Lzi = mi[Ri ,[ω,Ri ]] = miRi2ω

[мы воспользовались соотношением (11.3); векторы Ri, и ω взаимно перпендикулярны].

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынеся общий множитель ω за знак суммы, найдем для момента импульса системы относительно оси z следующее выражение:

i=1

Физическая величина

103

i=1

равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси z, называется моментом инерции системы материальных точек относительно оси z (отдельно

взятое слагаемое miRi2 представляет собой момент инерции i-й материальной точки относительно оси z).

С учетом (38.2) выражение (38.1) принимает вид:

которое является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением второго закона Ньютона:

dtd (mv) = f.

В §35 мы уже отмечали, что абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции Iz относительно фиксированной оси z есть величина постоянная. Следовательно, уравнение (38.4) переходит для абсолютно твердого тела в уравнение:

где β=ω — угловое ускорение тела, Мz, — результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Уравнение (38.5) похоже по форме на уравнение: mw=f

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы — момент инерции и т. д. (табл. 2)

Таблица 2

Понятия момента силы и момента инерции были нами введены на основе рассмотрения вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что эти величины существуют безотносительно к вращению. Так, например, любое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от состояния своего движения. Момент силы также

104

существует независимо от того, вращается тело вокруг оси, относительно которой берется момент, или покоится. В последнем случае момент рассматриваемой силы, очевидно, уравновешивается моментами других сил, действующих на тело.

Из уравнения (З8.5) вытекает, что при равенстве нулю результирующего момента всех внешних сил тело вращается с постоянной угловой скоростью. Если момент инерции тела может изменяться вследствие изменения взаимного расположения отдельных частей тела, при Мz=0 остается постоянным произведение Izω [см. (38.4) и изменение момента инерции Iz влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости ω. Этим объясняется обычно демонстрируемое явление, заключающееся в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться медленнее, а, прижимая руки к туловищу, начинает вращаться быстрее.

Рассмотрим систему, состоящую из двух дисков, имеющих общую ось вращения (рис. 100).

Рис. 100.

Между приливами дисков поместим сжатую пружину и свяжем эти приливы ниткой. Если пережечь нить, то под действием разжавшейся пружины оба диска придут во вращение в противоположных направлениях. Моменты импульса, которые приобретут диски, будут равны по величине, но противоположны по направлению:

I1ω1 = −I2ω2 ,

так что суммарный момент импульса системы останется по-прежнему равным нулю.

Подобным же образом обстоит дело и в случае изображенной на рис. 101 системы, состоящей из двух дисков с несовпадающими осями, укрепленными в раме, которая может свободно вращаться вокруг оси симметрии системы.

Рис. 101.

Если пережечь нить, стягивающую приливы на дисках, между которыми заложена сжатая пружина, диски придут во вращение, причем, как легко видеть, в одинаковом направлении. Одновременно рама начнет вращаться в противоположную сторону, так что полный момент импульса системы как целого останется равным нулю.

105

В обоих рассмотренных выше примерах вращение отдельных частей системы возникало под действием внутренних сил. Следовательно, внутренние силы, действующие между телами системы, могут вызвать изменения моментов импульса отдельных частей системы. Однако эти изменения будут всегда таковы, что суммарный момент импульса системы как целого остается без изменений. Полный момент импульса системы может изменяться только под воздействием внешних сил.

§39. Момент инерции

В предыдущем параграфе момент инерции был определен как сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от оси [см. (38.2)]. Из определения следует, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью величины, называемой плотностью. Если тело однородно, т. е. свойства его во всех точках одинаковы, то плотностью называется величина, равная

где m —масса тела, а V — его объем. Таким образом, в случае однородного тела плотность представляет собой массу единицы объема тела.

Для тела с неравномерно распределенной массой выражение (39.1) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом:

При таком понимании для двух практически совпадающих точек, одна из которых приходится на ядро атома, а другая — на промежуток между ядрами, получался бы сильно отличающийся результат (для первой точки огромная величина, для второй — нуль). Поэтому уменьшение V следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, под которым понимают такой объём, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические (т. е. присущие большой совокупности атомов) свойства в пределах его можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывность) вещества.

Согласно (39.2) элементарная масса mi равна произведению плотности тела рi в данной

Соотношения (39.3) и (39.4) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы Vi и соответствующие им элементарные массы mi. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:

Интегралы в (39.5) берутся по всему объему тела. Величины ρ и r в этих интегралах являются функциями точки, т. е., например, декартовых координат х, у и z.

106

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис 102).

Рис. 102.

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя равен

dV=b2πr dr

где b — толщина диска.

Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и ρ в (39.5) можно вынести за знак интеграла:

I = ρ∫r2dV = ρR∫r2b2πrdr,

0

где R - радиус диска. Вынесем за знак интеграла постоянный множитель 2πb:

Наконец, введя массу диска m, равную произведению плотности ρ на объем диска bπR2, получим:

Нахождение момента инерции в рассмотренном примере значительно упрощалось вследствие того, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции мы искали относительно оси симметрии. Если бы мы за хотели найти момент инерции диска относительно, например, оси О'О', перпендикулярной к диску и проходящей через его край (см. рис. 102), вычисления, очевидно, оказались бы гораздо более сложными. В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей черев центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси О'О' ранен найденному нами моменту инерции (39.6) относительна оси, проходящей через центр диска, плюс mR2 (расстояние между осями О'О' и OO равно радиусу диска R):

I = mR2 2 + mR2 = 23 mR2.

107

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

Для доказательства теоремы Штейнера рассмотрим тело произвольной формы (рис. 103), Возьмем две параллельные друг другу оси ОО и О'О' из которых одна (ось ОО) проходит через центр инерции тела. Свяжем с этими осями координатные оси xyz и x'y'z', которые выберем так, чтобы ось z совпадала с осью OO, а ось z' — с осью О'О' (на рис. 103 эти оси перпендикулярны к плоскости чертежа).

Рис 103.

Кроме того, оси х и х' выберем так, чтобы они совпадали и проходили через центр инерции тела. Тогда между координатами элементарной массы mi будут иметь место следующие соотношения:

Возведя в квадрат выражение, стоящее в круглых скобках, и сгруппировав соответствующим образом получившиеся слагаемые, выражение (39.11) можно привести к следующему виду:

Первая из сумм (39.12) тождественна с (39.10), т. е. представляет собой I0; вторая сумма дает ma2 третья же сумма, как легко видеть, равна нулю. В самом деле, поскольку ось z проходит через центр инерции тела, координата xс центра инерции равна нулю. Вместе с тем по

определению xc = m1 ∑xi mi , откуда следует, что ∑xi mi равна нулю.

Таким образом, выражение (39.12) принимает вид

108