Рис. 95

Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы материальных точек, в частности для твердого тела, всегда равна нулю. Это утверждение справедливо как для cуммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки» так и для Суммарного момента этих сил» взятого относительно любой оси.

§37. Момент импульса материальной точки» Закон сохранения момента импульса

Аналогично моменту силы определяется момент импульса (момент количества движения) материальной точки. Момент импульса относительно точки О равен

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, в которой находится материальная точка (рис. 96; вектор f понадобится нам в дальнейшем), р=mv—импульс точки [ср. с формулой (36.1)].

Моментом импульса относительно оси z называется составляющая Lz по этой оси момента импульса L относительно точки О, лежащей на оси (рис. 97):

99

Формула (37.6) похожа на формулу (22.3). Из сравнения этих формул вытекает, что подобно тому, как производная по времени от импульса равна силе, действующей на материальную точку, производная по времени от момента импульса равна моменту силы.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть материальная точка m движется вдоль пунктирной прямой на рис.96. Поскольку движение прямолинейно, импульс материальной точки изменяется только по модулю, причем

dpdt = f ,

где f — модуль силы [в рассматриваемом случае f имеет такое же направление, как р (см. рис. 96), так что dpdt > 0 ].

Плечо t остается неизменным. Следовательно,

dxd L = dtd (lp) = l dpdt = lf = M,

что согласуется с формулой (37.6) (в данном случае L изменяется только по модулю, причем увеличивается, поэтому dLdt = dLdt ).

Пример 2. Материальная точка массы m движется по окружности радиуса R (рис. 98).

равенства на орт ez оси z и, учтя, что ez от t не зависит, внесем его в правой части под знак производной. В результате получим:

Но произведение ez на проекцию вектора на ось z дает составляющую этого вектора по оси z (см. сноску на стр. 132). Следовательно,

101

Вектор L перпендикулярен к плоскости окружности, причем направление движения точки и вектор L образуют правовинтовую систему.

Поскольку плечо, равное R, остается постоянным, момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости. При равномерном движении материальной точки по окружности момент импульса остается постоянным и по величине и по направлению. Легко сообразить, что в этом случае момент силы, действующей на материальную точку, равен нулю.

Пример 3. Рассмотрим движение материальной точки в центральном поле сил (см. § 26). В соответствии с (37.6) момент импульса материальной точки, взятый относительно центра сил, должен оставаться постоянным по величине и направлению (момент центральной силы относительно центра равен нулю). Радиус-вектор r, проведенный из центра сил в точку m, и вектор L перпендикулярны друг к другу. Поэтому вектор r остается все время в одной и той же плоскости, перпендикулярной к направлению L. Следовательно, движение материальной точки в центральном поле сил будет происходить по кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр сил.

В зависимости от знака центральных сил (т. е. от того, являются они силами притяжения или отталкивания), а также от начальных условий траектория представляет собой гиперболу, параболу или эллипс (в частности, окружность). Например, Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой помещается Солнце.

Закон сохранения момента импульса. Рассмотрим систему из N материальных точек. Подобно тому, как это делалось в §23, разобьем силы, действующие на точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку,

обозначим символом Mi′ , результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку,

— символом Мi. Тогда уравнение (37.6) для i-й материальной точки будет иметь вид:

dtd Li = Mi′ + Mi (i=1, 2,…, N)

Это выражение представляет собой совокупность N уравнений, отличающихся друг от друга значениями индекса i. Сложив эти уравнения, получим:

называется моментом импульса системы материальных точек.

Сумма моментов внутренних сил [первая из сумм в правой части формулы (37.9)], как было показано в конце §36, равна нулю. Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил символом М, можно написать, что

[в символы L и М в этой формуле вложен иной смысл, чем в такие же символы в формуле

(37.6)].

Для замкнутой системы материальных точек М=0, вследствие чего суммарный момент импульса L не зависит от времени. Таким образом, мы пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

102