проведенной на графике горизонтальной черте, то система может совершать движение либо в пределах от x1 до x2 либо в пределах от x2 до бесконечности. В область x<x1 и x2<x<x3 система проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). Таким образом, область x2<x<x3 представляет собой потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии.
Рис. 68, б поясняет, как с помощью графика U определить кинетическую энергию, которой обладает система при данном значении х.
Рис.69
§30. Центральный удар шаров
При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.
Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями—сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения Механической энергии не соблюдается — имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов — механической и внутренней.
76
Рис. 70.
Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. При центральном ударе соударение может произойти, если; 1) шары движутся навстречу друг другу (рис 70, а) и 2) одни из шаров догоняет другой (рис, 70,6).
Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему или что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.
Рассмотрим вначале абсолютно неупругий удар. Пусть массы шаров равны m1 и m2, а скорости до удара V10 и V20. В силу закона сохранения суммарный импульс шаров после удара должен быть таким же, как и до удара:
m1v10 + m2v20 = m1v + m2v = (m1 + m2 )v |
(30.1) |
||||
(v — одинаковая для обоих шаров скорость после удара). |
|
||||
Из (30.1) следует, что |
|
|
|
|
|
v = |
m1v10 |
+ m2v20 |
|
(30.2) |
|
m1 |
+ m2 |
||||
|
|
||||
Поскольку векторы v10 и v20 направлены вдоль одной и той же прямой, вектор v также имеет направление, совпадающее с этой прямой. В случае б) (см. рис. 70) он направлен в ту же сторону, что и векторы v10 и v20. В случае а) вектор v направлен в сторону того из векторов vi0, для которого произведение mivi0 больше.
Модуль вектора v может быть вычислен по следующей формуле:
υ = |
|
m1υ10 |
± m2υ20 |
|
(30.3) |
|
m1 |
+ m2 |
|
||
|
|
|
|
где υ10 и υ20—модули векторов v10 и v20; знак «-» соответствует случаю а), знак «+» — случаю б).
Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. При таком ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.
Обозначим массы шаров m1 и m2, скорости шаров до удара v10 и v20 и, наконец, скорости шаров после удара v1 и v2. Напишем уравнения сохранения импульса и энергии;
|
|
m1v10 + m2v20 |
= m1v1 + m2v2 |
|
(30.4) |
|||||||
|
|
m v2 |
m v2 |
|
m v2 |
|
m v2 |
|
|
|||
|
|
1 10 |
+ |
2 20 |
|
= |
1 1 |
+ |
2 2 |
|
(30.5) |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Преобразуем (30.4) следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m1 (v10 − v1 ) = m2 (v2 − v20 ) |
|
(30.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 См (24.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
||
Учитывая, что (A2 − B2 ) = ( A − B)( A + B) , приведем (30.5) к виду
m1 (v10 − v1 )(v10 + v1 ) = m2 (v2 − v20 )(v2 + v20 ) |
(30.7) |
Из соображений симметрии можно утверждать, что скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры шаров перед ударом. Следовательно, все векторы в (30.6) и (30.7) коллинеарны. Это дает возможность заключить из сравнения (30.6) и (30.7), что
|
|
|
v10 + v1 = v2 + v20 |
|
(30.8) |
Умножая (30.8) на m2 и вычитая результат из (30.6), а затем умножая (30.8) на m1 и |
|
||||
складывая результат с (30.6), получим векторы скоростей шаров после удара: |
|
||||
v1 |
= |
2m2v20 + (m1 − m2 )v10 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m1 + m2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
v2 |
= |
|
2m1v10 + (m2 − m1)v20 |
|
(30.9) |
|
m1 + m2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Для численных подсчетов спроектируем (30.9) на направление вектора v10;
υ= 2m2υ20 + (m1 − m2 )υ10
1m1 + m2
υ2 = 2m1υ10 (m2 − m1)υ20
m1 + m2
В этих формулах υ10 и υ20 —модули, а υ1 и υ2— проекции соответствующих векторов. Верхний знак «—» соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, нижний знак «+» — случаю, когда первый шар нагоняет второй.
Отметим, что скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом деле, приравняв друг другу выражения (30.9) для v1 и v2 и произведя преобразования, получим:
v10 = v20
Следовательно, для того чтобы скорости шаров после удара оказались одинаковыми, необходимо, чтобы они были одинаковыми и до удара, но в этом случае соударение не может произойти. Отсюда следует, что условие равенства скоростей шаров после удара несовместимо с законом сохранения энергии. Итак, при неупругом ударе механическая энергия не сохраняется — она частично переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел» что приводит к их нагреву.
Рассмотрим случай, когда массы соударяющихся шаров равны: m1=m2. Из (30.9) следует, что при этом условии
v1 = v20 ,v2 = v20
т. е. шары при соударении обмениваются скорости. В частности, если один из шаров одинаковой массы, например второй, до соударения покоится, то после удара он движется с такой же скоростью, какую использовал первоначально первый шар; первый же шар после удара оказывается неподвижным.
С помощью формул (30.9) можно определить скорость шара после упругого удара о неподвижную не движущуюся стенку (которую можно рассматривать как шар бесконечно большой массы m2 и бесконечно большого радиуса). Деля числитель и знаменатель выражений (30,9) на m2 и пренебрегая членами, содержащие множитель m1/m2 получаем:
Как следует из полученного результата, скоро стенки остается неизменной. Скорость же шара, если стенка неподвижна (v20=0), меняет направление противоположное; в случае
78