Таким образом, уравнение (22.3) сохраняет свое значение и в релятивистской механике (см

§12).

интегрирование, которого дает приращение импульса за промежуток времени, протекший от момента t1 до момента t2:

В частности, f=const, если формула (22.5) дает для приращения импульса за промежуток

времени τ значение: p2 − p1 = fτ .

Заметим, что из выражения (22.3) следует, что, выяснив, как импульс изменяется со временем, можно установить силу, действующую на тело.

§23. Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (для краткости будем называть ее системой тел). Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними мы будем называть силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними — силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.

В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Импульсом системы p называется векторная сумма импульсов тел, образующих систему,

N

p = p1 + p2 + ...+ pN = ∑ pi .

i=1

Назовем центром инерции системы точку, положение которой в пространстве задается радиусом вектором rc, определяемым следующим образом;

Таким образом, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции.

1 Это справедливо только в однородном поле сил тяжести (см. § 41)

55

Пусть система состоит из трех тел (рис. 51). Каждой из внутренних сил, например f12, т. е. силе, с которой на тело l воздействует тело 2, соответствует сила f21 с которой тело 1 воздействует на тело 2 причем по третьему закону Ньютона f12=-f21. Символами F1, F2 и F3 обозначены результирующие всех сил, с которыми внешние тела воздействуют соответственно на 1-е, 2-е и 3-е тело системы.

Напишем для каждого из трех тел уравнение (22.3)

Рис, 51,

Сложим все три уравнения вместе. Сумма внутренних сил будет равна нулю, вследствие чего

При отсутствии внешних сил получается, что dtd p = 0,

следовательно, для замкнутой системы p постоянен.

Этот результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тел N. Пользуясь сокращенной записью сумм, уравнение (22.3) дли всех N тел можно представить следующим образом;

Выражение (23.5) представляет собой систему N уравнений, отличающихся друг от друга значением индекса i. Суммирование в каждом из этих уравнений производится по индексу k причем в i-м уравнении индекс k пробегает все значении от 1 до N кроме значения k=i.

Складывая эти уравнения, с учетом того, что fik=-fki получим:

56