Величина коэффициентов k1 и k2 (их можно назвать коэффициентами трения) в сильной

степени зависит от формы, и размеров тела, состояния его поверхности и от вязких свойств среды. Например, для глицерина они оказываются гораздо большими, чем для воды. Значение скорости, при которой закон (19.2) переходит в (19.3), оказывается зависящим от тех же причин.

§20. Силы, действующие при криволинейном движении

Как было показано в §9, ускорение при криволинейном движении можно представить в виде суммы двух составляющих—нормального wn и тангенциального wt ускорений. В соответствии

с этим и силу, действующую на тело, можно разложить на нормальную tn и тангенциальную fm составляющие. Нормальная составляющая силы обусловливает изменение скорости по направлению, не изменяя ее величины; тангенциальная составляющая изменяет скорость по величине и не изменяет ее направления. Отсюда вытекает важное следствие: если сила, действующая на тело, в каждый момент времени (рис 48) оказывается перпендикулярной к скорости тела, скорость, изменяясь по направлению, остается постоянной по величине. При условии, что сила, кроме того, остается постоянной по величине нормальное ускорение

υ 2 / R (R— радиус кривизны траектории) также будет неизменно по величине и тело будет двигаться по траектории постоянной кривизны, т, е. по окружности. При равномерном движении по окружности ускорение тела и действующая на него сила всё время направлены («устремлены») к центру окружности, поэтому их называют центростремительным ускорением и центростремительной силой.

Рис.48 их называют центростремительным ускорением и центростремительной силой.

На практике центростремительное ускорение обычно бывает обусловлено одновременным воздействием на движущееся тело нескольких тел. В качестве примера рассмотрим равномерное движение по окружности тела, находящегося под воздействием силы тяжести Р и реакции натянутой нити fr (рис. 48). Здесь центростремительная сила fцс является результирующей сил Р. и fr

51

§21. Практическое применение законов Ньютона

Уравнение второго закона Ньютона, написанное в векторной форме, устанавливает в общем, виде связь между силой» массой тела и его ускорением. Чтобы осуществить вычисления, нужно, перейти от векторов к их проекциям на соответствующим образом выбранные направления. При этом пользуются следующими свойствами проекций:

1)равные векторы имеют одинаковые проекции;

2)проекция вектора, получающегося умножением какого-то другого вектора на скаляр, равна произведению проекции этого второго вектора на скаляр;

3)проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов. Рассмотрим

несколько примеров. Пример 1: Два тела с массами m1 и m2 прикреплены к концам нерастяжимой, невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок (рис. 49).

Рис. 49.

Нить может скользить по желобку блока практически без трения. Найти силу натяжения нити и ускорение тел.

Каждое из тел находится под воздействием двух сил силы тяжести Р. и реакции нити fr (рассмотрение ведем в системе отсчета, связанной с Землей, считая ее инерциальной). Напишем для обоих тел уравнение второго закона:

В связи с тем, что нить невесома и скользит по блоку без трения, ее натяжение по всей длине одинаково. Поэтому обе силы реакции имеют одинаковый модуль fr. Вследствие не растяжимости нити ускорения обоих тел равны по величинеω1 = ω2 = ω.

Проектируя первое из уравнений (21.1) на направление x1 (рис. 49), а второе на направление x2 получаем систему

52

Решая систему уравнений (21.2) относительно неизвестных frиω получаем:

Если m2>m1, тогда положительно, т. е. ускорение первого тела w1 направлено вверх, а

ускорение второго тела w2 направлено вниз. При m2<m1 направления обоих ускорений меняются на противоположные.

.

Рис. 50

В случае m1=m2 тела движутся без ускорений (или покоятся). Зная ускорение, легко найти по формуле (8.2) и скорость тел.

Пример 2. Тело массы m подвешено к концу нерастяжимой нити длиной l (рис. 50). Точки крепления нити к опоре движется относительно Земли с постоянным ускорением w, образующим угол α с горизонтом. Найти отклонение нити от вертикали (угол ϕ ) и силу f, с

которой тело действует на нить.

Тело будет двигаться с таким же ускорением w, как и точка крепления нити к опоре. Следовательно, уравнение второго закона для тела имеет вид:

P + fr = mw.

Спроектировав векторы, входящие в это уравнение, на координатные оси xиy , получим:

53

Из рис. 50 видно, что

Px = 0, Py = −P = −mg; frx = fr sinϕ = f sinϕ; fry = fr cosϕ = f cosϕ; ωx = ω cosα ;ωy = ω sinα

(искомая сила f и сила f,равны по величине). Подставив значения проекций в (21.3): 0 + f sinϕ = mω cosα ,

−mg + f cosϕ = mω sinα .

Решая эту систему уравнений относительно ϕиf , получаем:

можно придать другой вид. Учтя, что масса m в классической механике есть величина постоянная, ее можно внести под знак производной и записать (22.1) следующим образом:

d (mv) = f . dt

Векторную величину

называют импульсом материальной точки1. Воспользовавшись определением импульса, уравнение второго закона можно написать в виде

а сам закон сформулировать так: производная импульса материальной точки по времени равна результирующей всех сил действующих на точку.

Уравнение (22.3) справедливо в более широких пределах, чем уравнение (22.1). Как устанавливает теория относительности, масса тела является функцией скорости: с увеличением скорости масса растет. Правда, зависимость массы от скорости такова2, что при скоростях значительно меньших скорости света, масса остается практически постоянной. Однако при больших скоростях масса начинает быстро расти, вследствие чего уравнение (22.1) становится неприменимым. В то же время уравнение (22.3) остается справедливым и при этих условиях.

1Прежде вместо термина «импульс» пользовались термином «количество движения».

2Эта зависимость имеет вид:

где m — масса тела в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью υ , m0 — масса покоя, т, е. масса при υ = 0 , c — скорость света в пустоте.

54