Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matphy_mech_mod1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

375.92 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

@2u

¡ 4

@2u

¡ 4

@2u

+ 6

= 0 .

(3.2)

@x1@x1

@x2@x2

@x1@x2

@x2@x3

@x1

@x2

Составим матрицу коэффициентов уравнения (3.2), явно учитывая е¨ симметрию:

	8	2	2	0	9
	>	0	2	0	>
	>	0	2	0	>
	>		¡		>
	>		¡		>
A =	>	¡2	¡1	¡2	>	;	(3.3)
A =	>	¡2	¡1	¡2	>	;	(3.3)
	>				>
	>				>
	>				>
	:				;

и характеристический многочлен матрицы A:

¯:

A ¸ E = ¯

¡2

j ¡ j

(3.4)

Раскрывая определитель (3.4) по ¯правилу треугольников получим:¯

jA ¡ ¸ Ej = ¡(2 ¡ ¸)(1 ¡ ¸)¸ ¡ 4(2 ¡ ¸) + 4¸ = ¡¸(1 ¡ ¸)(2 ¡ ¸) + 4(¸ ¡ 2 + ¸) =

=¡¸(1 ¡ ¸)(2 ¡ ¸) + 8(¸ ¡ 1) = ¡¸(1 ¡ ¸)(2 ¡ ¸) ¡ 8(1 ¡ ¸) =

=¡(1 ¡ ¸) ¡¸(2 ¡ ¸) + 8¢ = ¡(1 ¡ ¸)(2¸ ¡ ¸2 + 8) =

=(1 ¡ ¸)(¸2 ¡ 2¸ ¡ 8) = ¡(2 + ¸)(¸ ¡ 1)(¸ ¡ 4) ;

откуда собственные значения матрицы A суть: ¸1 = ¡2, ¸2 = +1, ¸3 = +4.

Найд¨ем для собственных значений матрицы A соответствующие правые собственные векторы, решая относительно компонентов правых собственных векторов однородные сис-

темы линейных уравнений:
(A ¡ ¸ E) r = 0 :	(3.5)

Для собственного значения ¸1 = ¡2 имеем следующую вырожденную систему (первое

уравнение равно удвоенной сумме второго и третьего):

¸1 E) r 1

8 r12

;

(3.6)

¡2

r11

>> r

> >

;

для нахождения однопараметрического решения которой вычеркнем третье уравнение,

а параметром назначим компонент r13:

> ¡

¡1

r11

= r13

(3.7)

98 r12

;

					22
Из системы (3.7) в разв¨ернутом виде
(	+ 2 r11		¡ 1 r12	= 0	(3.8)
(	¡	2 r11	+ 3 r12	= 2 r13	(3.8)
	¡

получим: 2 r11 = r12 , r12 = r13 . Выберем параметр так, чтобы получить решение в целых

числах: r11 = +1 , r12 = +2 , r13 = +2 .

Для собственного значения ¸2 = +1 имеем следующую вырожденную систему (первое

уравнение равно удвоенной сумме второго и третьего):

> ¡

r21

>> r

> >

¡ ¡

¸2

(3.9)

E) r

¡0

8 r22

;

для нахождения однопараметрического решения которой вычеркнем третье уравнение,

а параметром назначим компонент r23:

8 r22

¡0

= r23

(3.10)

r21

;

Из системы (3.10) в разв¨ернутом виде
(	+ 1 r21		¡ 2 r22	= 0	(3.11)
(	¡	1 r21	+ 0 r22	= 1 r23	(3.11)
	¡

получим: r21 = 2 r22 , 2 r22 = ¡r23 . Выберем параметр так, чтобы получить решение в це-

лых числах: r21 = ¡2 , r22 = ¡1 , r23 = +2 .

Для собственного значения ¸3 = +4 имеем следующую вырожденную систему (первое

уравнение равно удвоенной сумме второго и третьего):

> ¡

¡ ¡

r31

>> r

> >

¡2

¡ ¡

¸3

(3.12)

E) r

¡3

8 r32

;

для нахождения однопараметрического решения которой вычеркнем третье уравнение,

а параметром назначим компонент r33:

8 r32

¡2

¡3

= r33

(3.13)

r31

;

: ;

Из системы (3.13) в разв¨ернутом виде

( ¡

1 r31

1 r32

= 0

(3.14)

2 r31

3 r32

= 2 r33

получим: r31 = ¡r32 , r32 = ¡2 r33 . Выберем параметр так, чтобы получить решение в це-

лых числах: r31 = +2 , r32 = ¡2 , r33 = +1 .

Из найденных (компонентов) собственных векторов составим матрицу R, нормируя

при этом собственные векторы, и е¨ транспонированную матрицу R>:

8 +3

¡3

8 +3

¡3

3 ¡

R =

;

R> =

(3.15)

3 ¡

Проверим правильность:

нахождения;собственных:векторов, вычислив; матрицу

8 +3

2 ¡2 0 98 +3

¡3

R>A R =

(3.16)

¡3 ¡3

>> ¡

0 2 0

+ + +

3 ¡3

;

Чтобы не загромождать пространство, вначале вычислим матрицу

2 ¡2 0

98 +3

¡3

9 8

¡3

> >

3 ¡3

¡3

¡3 ¡3

> >

(3.17)

A R =

;

+ +

0 2 0

+ + +

¡3

> >

;

затем матрицу

98 ¡3

9 8 ¡2 0 0 9

8 +3 ¡

¡3

> >

3 ¡

¡3

¡3 ¡3

> >

R>(A R) =

0 +1

= ¤ :

(3.18)

> =

+ + +

+ +

0 0 +4

> >

¡3

> >

;

Следовательно, вычисления собственных значений и векторов проведены правильно, и можно выписать старшие члены уравнения в новых независимых переменных (y1; y2; y3):

	@2		@2		@2	.	(3.19)
¡2 @y1@y1		+ 1 @y2@y2		+ 4 @y3@y3

Младшие члены уравнения в новых независимых переменных найд¨ем так:

@y1

4 @

11 @

14 @

6 1 0

= +

¡3

3 @y1 ¡

3 @y2

3 @y3

;

(3.20)

Сборка (3.19) и (3.20) да¨ет окончательный вид линейного уравнения второго порядка (3.2) в новых независимых переменных (это и есть канонический вид исходного уравнения (3.1)):

¡2

@2u

+ 4

@2u

11 @u

14 @u

= 0 :

(3.21)

@y1@y1

@y2@y2

@y3@y3

@y1

3 @y2

3 @y3

В уравнении (3.21): 1) присутствуют вторые повторные производные по всем переменным; 2) отсутствуют вторые смешанные производные (ради этого и затевалось приведение к каноническому виду); 3) присутствуют первые производные по всем переменным (это никак не сказывается на типе уравнения, но обратить внимание на это стоит).

Для уравнения (3.21) вычислим величины:
k¡ = ¡	¸X·		X·	k0 = n ¡ k+ ¡ k¡ ;	(3.22)
k¡ = ¡	sign(¸·) ;	k+ =	sign(¸·) ;	k0 = n ¡ k+ ¡ k¡ ;	(3.22)
	<0		¸ >0

т. е. k¡ равно числу отрицательных коэффициентов при старших производных в уравнении (3.21), k+ числу положительных коэффициентов.

Теперь тип уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (3.1), привед¨енного к каноническому виду (3.21), может быть определ¨ен в соответствии с табл. 3.1.

Табл. 3.1. Тип линейного уравнения второго порядка (3.1)

k+	k¡	k0	тип уравнения
n	0	0	Э эллиптический
0	n	0	Э эллиптический
0	n	0
n ¡ 1	0	1	П параболический
0	n ¡ 1	1
n ¡ 1	1	0	Г гиперболический
1	n ¡ 1	0

В нашем случае k¡ = 1, k+ = 2, k0 = 0, следовательно (3.1) уравнение гиперболического типа. N

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.04.20191.88 Mб13matan_1-33.doc
#
01.03.202518.32 Mб0matan_bilety_1.docx
#
23.03.2015139.45 Кб4matphy_mech_01_02.pdf
#
23.03.2015321.77 Кб9matphy_mech_04.pdf
#
23.03.2015248.02 Кб9matphy_mech_lnotes_mn.pdf
#
23.03.2015375.92 Кб4matphy_mech_mod1.pdf
#
23.03.201575.26 Кб34Matsko_L_I__Kravets_L_V_Kultura_ukrayinsko.doc
#
01.03.202597.79 Кб0mat_analiz_1 (1).doc
#
01.04.20252.11 Mб0Maznichenko_Ukrainskiy_pravopys.doc
#
21.08.201932.61 Кб9med. 35-39.docx
#
02.09.2019158.13 Кб8Meditsina_Chast_2_-_UN.docx