AGLA

г) три точки M1(2, 2, 4), M2(2, −4, −2) i M3(0, 6, 0).

9.33. Скласти канонiчне рiвняння однопорожнинного гiперболоїда, який проходить через

9.34. Скласти канонiчне рiвняння двопорожнинного гiперболоїда, який проходить через

9.35. Скласти канонiчне рiвняння елiптичного параболоїда, вершина якого знаходиться в початку координат i який проходить через точки

а) M1(1, −2, 1) i M2(−3, −3, 2), за умови, що його вiсь збiгається з вiссю

Oy;

б) M1(1, 2, 1) i M2(2, 4, 0) за умови, що його вiсь збiгається з вiссю Ox.

9.36. Дослiдити перерiзи площинами, паралельними осям координат (площинами вигляду x = α, y = β, z = γ), наступних поверхонь другого порядку:

181

в) перерiзи поверхнi 2x2 − y2 = 2z площинами x = −1, x = 0 i x = 1 спроектовано на площину Oyz, зобразити проекцiї;

г) перерiзи поверхнi 2x2 − y2 = 2z площинами y = −1, y = 0 i y = 1 спроектовано на площину Oxz, зобразити проекцiї;

д) перерiзи поверхнi 2x2 − y2 = 2z площинами z = −1, z = 0 i z = 1 спроектовано на площину Oxy, зобразити проекцiї.

9.38. а) Перерiзи поверхонь x2 + 2y2 − 3z2 = 1, x2 + 2y2 − 3z2 = 0, x2 + 2y2 −3z2 = −1 площиною x = 0 спроектовано на площину Oyz, зобразити проекцiї;

б) перерiзи тих самих поверхонь площиною z = 0 спроектовано на площину Oxy, зобразити проекцiї.

9.39. Визначити, яка крива є перетином площини α i поверхнi другого порядку . Якщо перетином є елiпс або гiпербола, визначити пiвосi i координати вершин, якщо парабола - параметр i координати вершини параболи.

а) α : x − 2 = 0, : x2 + y2 + z2 = 1; 16 12 4

182

9.40. Довести, що лiнiя перетину поверхнi другого порядку з площиною є алгебраїчна лiнiя не вище другого порядку. Навести приклади, коли це лiнiя першого порядку.

9.41. Визначити, при яких значеннях параметра λ площина x + λz = 1 перетинає двопорожнинний гiперболоїд x2 + y2 − z2 = −1

а) по елiпсу; б) по гiперболi.

9.42. Визначити, при яких значеннях параметра λ площина x + λy = 2 перетинає елiптичний параболоїд 3x2 + 2z2 = 6y

183

9.44. а) Назвати типи поверхонь другого порядку, якi мають прямолiнiйнi твiрнi;

б) чи може число прямолiнiйних твiрних, якi проходять через одну точку поверхнi другого порядку дорiвнювати 0? 1? 2? 3?...Чи може воно бути нескiнченним? Навести приклади.

9.45. Скласти рiвняння прямолiнiйних твiрних поверхнi другого порядку , якi проходять через точку M, якщо

а) : 4x2 − z2 = y, M (1, 3, −1) ;

б) : x2 + y2 − z2 = 1, M (6, 2, 8) ; 9 4 16

в) : 4x2 − y2 = 16z, M (2, 0, 1) .

9.46. Скласти рiвняння прямолiнiйних твiрних поверхнi другого порядку , паралельних площинi α, якщо

а) : x2 + y2 − z2 = 1, α : 6x + 4y + 3z − 17 = 0; 4 9 16

б) : x2 − 4y2 = 16z, α : 3x + 2y + 4z = 0.

184

9.47. Довести, що площина α перетинає поверхню другого порядку по прямолiнiйним твiрним. Скласти рiвняння цих прямолiнiйних твiрних, якщо

а) : x2 − 4y2 = 2z, α : 2x − 12y − z + 16 = 0;

б) : x2 + y2 − z2 = 1, α : 4x − 5y − 10z − 20 = 0. 25 16 4

9.48. Скласти рiвняння площини, яка

а) перетинає гiперболiчний параболоїд x2 − y2 = 2z по парi прямих i проходить через точки M1 (1, 1, 1) i M2 (2, 0, 2) ;

б) перетинає однопорожнинний гiперболоїд x2 + y2 − z2 = 1 по парi

36 9 4

прямих i проходить через точку M (6, −3, 2) ;

в) перетинає гiперболiчний параболоїд x2 − y2 = 2z по парi прямих i паралельна площинi x + y + z − 1 = 0.

9.49.Визначити кут мiж прямолiнiйними твiрними гiперболiчного параболоїда 9x2 − 4y2 = 36z, якi проходять через точку M (−2, 0, 1) .

9.50.Визначити кут мiж прямолiнiйними твiрними однопорожнинного гiперболоїда x2 + y2 − z2 = 1, якi перетинаються в точцi, що належить площинi z = λ, якщо

9.51. Знайти множину точок поверхнi , в яких перетинаються її взаємно перпендикулярнi прямолiнiйнi твiрнi, якщо

а) : x2 + y2 − z2 = 1; б) : x2 − y2 = 2z; в) : x2 − 4y2 = 2z.

185

9.52. Довести, що прямолiнiйнi твiрнi однопорожнинного гiперболоїда

проектуються на координатнi площини в дотичнi до вiдповiдних головних перерiзiв.

9.53. Дослiдити, як розташованi (в координатних площинах) по вiдношенню до головних перерiзiв проекцiї прямолiнiйних твiрних гiперболiчного параболоїда

x2 − y2 = 2z на площину Oxz дотикаються параболи x2 = 2z.

9.55.Довести, що однопорожнинний гiперболоїд обертання може бути описаний прямою, яка обертається навколо осi, що не лежить з нею в однiй площинi.

9.56.Знайти геометричне мiсце точок, вiдношення вiдстаней вiд яких до двох мимобiжних прямих є величина стала i дорiвнює λ.

9.57.Знайти геометричне мiсце фокусiв гiпербол, отриманих при перетинi гiперболiчного параболоїда

площинами, паралельними площинi Oxy.

186

9.58. По якiй лiнiї перетинаються однопорожнинний гiперболоїд

i сфера x2 + y2 + z2 = a2?

9.59. По якiй лiнiї перетинаються однопорожнинний гiперболоїд обертання x2 + y2 − z2 = a2 i гiперболiчний параболоїд x2 − y2 = 2az?

9.62. Написати рiвняння поверхнi, яка складається з прямих, по яких перетинаються взаємно перпендикулярнi площини, якi проходять через двi заданi прямi.

187

2, x2 = 3; г) x1 = 0, x2 = −2.

1.8.1, −1, 0.

1.9.4.

1.10.2.

1.11.Знак визначника змiниться на протилежний.

1.12.Змiниться на комплексно спряжене число.

1.17.0.

1.18.a) 1; б) −4; в) −12.

188

1.21. a) якщо a =6 −2, тодi система має єдиний розв’язок: x = −2,

система несумiсна; в) якщо a =6 ±4, тодi система має єдиний розв’язок:

y= −25a++b6 ; якщо a = 0, b = 1, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = t,

y= −1, t R; якщо a = −3, b = −5, тодi система має безлiч розв’язкiв:

система несумiсна;д) якщо a =6 −11, тодi система має єдиний розв’язок:

189

система має єдиний розв’язок: x = 2 −a2, y = 2a −1, z = a3 + 2a2 −a −1; якщо a = 0, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = −t1 − t2, y = t1, z = t2, t1, t2 R; якщо a = −3, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = y = z = t, t R; з) якщо a 6= b i b 6= c i a 6= c тодi система має єдиний

якщо a = d =6 b = c, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = 1, y = −t, z = t, t R; якщо a = c =6 b = d, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = −t, y = 1, z = t, t R; якщо a = b =6 c = d, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = −t, y = t, z = 1, t R; якщо a = b = c = d, тодi система має безлiч розв’язкiв: x = 1 − t1 − t2, y = t1, z = t2, t1, t2 R; якщо a = b = c 6= d або серед параметрiв a, b, c два рiзнi, а d не дорiвнює

~

2.7. l = {1, 1, 1}; m~ = {0, 2, 0}; ~n = {0, 1, 1}.

2.8. β/α.

2.9. r~3 = (nr~1 + mr~2)/(m + n); r~4 = (nr~1 − mr~2)/(n − m);

2.10. а) {−3, 16}; б) {9, −20}.

190