2.3. Визначники n-го порядку

Усякий член визначника другого порядку є добутком двох елементів, які знаходяться в різних рядках і різних стовпцях матриці. Всі добутки такого виду, які можна скласти із елементів матриці другого порядку, є доданками у виразі для визначника, причому один із добутків береться із знаком «+», а другий із знаком «–». Так само кожний доданок виразу визначника для матриці третього порядку, який береться із знаком «+» або «–» є добутком елементів, розміщених у різних рядках та різних стовпцях матриці третього порядку, причому знову всі такі добутки є доданками виразу для визначника, взятими із знаком «+» або «–».

Нехай – квадратна матриця порядку n з елементами . Кожній підстановці n-го степеня поставимо у відповідність добуток

.

Множники цього добутку розміщені в різних рядках і різних стовпцях матриці A, причому в добутку є елемент із кожного рядка матриці та елемент із кожного її стовпця. Перебираючи всі підстановки n-го степеня, ми отримаємо всі добутки такого виду. Добутки називаютьсячленами визначника матриці A.

Визначником матриці називається алгебраїчна сума n! членів, яка складається таким чином: кожен член є добутком n елементів, узятих по одному з кожного рядка і по одному з кожного стовпця матриці A, причому добуток береться із знаком «+», якщо підстановкапарна та із знаком «–», якщо– непарна.

Елементи матриці A, її діагоналі, рядки та стовпці ми будемо називати відповідно елементами, діагоналями, рядками та стовпцями визначника матриці A.

Приклад 2.2. Користуючись означенням визначника в загальному вигляді, знайдемо визначники матриць другого і третього порядків. Нехай

.

У множині підстановок другого степеня два елементи:

і .

Оскільки підстановка парна, а– непарна, то маємо:

.

Розглянемо тепер матрицю

третього порядку.

Випишемо всі шість підстановок степеня 3:

, ,,

, і.

Підстановки є парними, а– непарними. Звідси виходить такий вираз для визначника матриціA:

detA = + + –

– ––=

= .

Для визначників другого та третього порядку ми отримали такі самі вирази, як і вище.

Приклад 2.3. З’ясуємо, які з добутків

, , ,

входять до розкладу визначника матриці і з якими знаками.

Розглянемо добуток . A – матриця п’ятого порядку, а, значить, кожен із членів визначника A є добутком п’яти елементів матриці A. Оскільки є добутком чотирьох елементів, то він не входить до розкладу визначника A.

У добутку п’ять множників, які взяті по одному із кожного рядка та із кожного стовпця матриці A, отже, цей добуток є членом визначника A. Визначимо знак, з яким він входить до розкладу визначника. Оскільки підстановка непарна, то член входить до розкладу визначника матриці A із знаком «–».

Розмірковуючи аналогічно, отримаємо, що також є членом визначника матриці A. Підстановка є парною, а, значить, член входить до розкладу визначника A із знаком «+».

Добуток не є членом визначника матриці A, оскільки він містить два елементи із третього стовпця: і .

Приклад 2.4. Нехай . Покажемо, що добуток елементів головної діагоналі та добуток елементів бічної діагоналі є членами визначника матриці A і з’ясуємо, з якими знаками вони входять до розкладу визначника A.

Добутки і елементів головної та бічної діагоналей відповідно складаються із n множників, узятих по одному з кожного рядка та з кожного стовпця матриці A, а, значить, є членами визначника A. Визначимо знак, з яким добуток елементів головної діагоналі входить до визначника. Оскільки підстановка є парною, то добуток елементів головної діагоналі входить до розкладу визначника матриціA із знаком «+».

У прикладі 1.6. було показано, що підстановка є парною, якщо числопарне, і непарною у протилежному випадку.

Отже, добуток елементів бічної діагоналі входить до розкладу визначника матриці із знаком .

Приклад 2.5. Обчислимо визначник

.

Поданий визначник є визначником матриці п’ятого порядку, а, значить, кожен член визначника є добутком п’яти елементів. У матриці лише п’ять відмінних від нуля елементів і вони розташовані по одному в кожному рядку матриці і по одному в кожному стовпці. Отже, серед членів визначника тільки один ненульовий – це добуток . Підстановка є непарною, отже, добуток входить до розкладу визначника із знаком «–», а, значить, визначник дорівнює числу –120.

Задача 2.2. Які з поданих добутків входять до розкладу визначника матриці і з якими знаками?

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

є) .

Задача 2.3. З яким знаком входить добуток

до розкладу визначника матриці ?

Задача 2.4. Вибрати значення i та j так, щоб добуток

входив до розкладу визначника матриці із знаком «+».

Задача 2.5. Вибрати значення i, j, k так, щоб добуток

входив до розкладу визначника матриці із знаком «–».

Задача 2.6. У матриці A порядку n кількість відмінних від нуля елементів дорівнює числу n – 1. Чому дорівнює detA?

Задача 2.7. У матриці A порядку n у точності n елементів дорівнюють 1, а всі інші елементи – нулі. Чому може дорівнювати detA?

Задача 2.8. Обчислити подані визначники:

а) ;б) ;в) ;г) ;

д) ;е) ;є) ;ж) .

Задача 2.9. Обчислити визначник матриці A порядку n.

а) A = E; б) A = –E; в) A = diag(1, 2, …, n); г) A – матриця, всі елементи деякого рядка якої дорівнюють нулю; д) A – матриця, всі елементи деякого стовпця якої дорівнюють нулю;

е) ; є) ;

ж) ; з) .

Задача 2.10. Обчислити визначник матриці , в якій

,

а всі інші елементи дорівнюють нулю.