- •3 4, І так далі, і насамкінець, матриця має розмір 100 101. З’ясувати, які з поданих добутків є визначеними. Указати кількості рядків і стовпців для тих добутків, що є визначеними.
- •4. Обернена матриця
- •Відповіді
- •Л) . 3.38. A–1 існує тоді і тільки тоді, коли всі ai, ≠ 0, 1 I n,
- •Рекомендована література
Аналогічно вводиться операція віднімання. Різницею двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за правилом
( 1 i k, 1 j n).
Приклад 3.1. Нехай , . Знайдемо матриці A + B і A – B.
A + B = + = = .
A – B = – = = .
З означення додавання матриць випливають такі властивості цієї операції:
1. А + В = В + А (комутативність додавання);
2. (А + В) + С = А + (В + С) (асоціативність додавання);
3. Матриця 0, кожен елемент якої дорівнює нулю, відіграє роль нуля: A + 0 = A для будь-якої матриці A того ж розміру, що і 0;
4. Для будь-якої квадратної матриці А існує так звана протилежна матриця, яка позначається (А), тобто така, що
А + (А) = 0.
Для кожної матриці А протилежна матриця єдина і, очевидно, є матрицею з елементами, протилежними до відповідних елементів A.
Нехай , R. Добутком числа та матриці А називається матриця А = , елементи якої визначаються за правилом
(1 i k, 1 j n).
Інакше кажучи, щоб помножити число на матрицю, необхідно помножити кожен її елемент на це число.
Приклад 3.2. Знайдемо добуток 3A, якщо .
.
Операція множення матриці на число має такі властивості:
1. 1А = А.
2. (А) = ()А = (А).
3. ( + )А = А + А.
4. (А + В) = А + В.
Приклад 3.3. Задано три матриці:
, , .
Знайдемо матрицю D = 2A – 3B + 6C
За означенням добутку матриці на число, одержимо:
,
,
.
.
Задача 3.1. Задано матриці:
, , .
Знайти: а) ; б) ; в) ; г) .
Задача 3.2. Знайти матрицю X, якщо:
а) ; б) ; в) ;
г) ;
д) .
Задача 3.3. Знайти матриці X та Y, якщо:
а) б)
2. Множення матриць
Розглянемо операцію множення матриць спочатку для квадратних матриць. Нехай і – квадратні матриці порядку n.
Добутком АВ цих матриць, тобто результатом виконання операції множення матриць A і B будемо називати матрицю , елементи якої визначаються за правилом:
(1 i, j n).
Отже, добутком АВ квадратних матриць A і B n-го порядку є квадратна матриця того ж порядку n, причому коли , то будь-який елемент дорівнює сумі попарних добутків відповідних елементів i-го рядка матриці A та
j-го стовпця матриці B.
Приклад 3.4. Нехай A = ; B = . Знайдемо добутки AB і BA.
AB = = = ;
BA = = = .
З цього прикладу видно, що множення матриць некомутативне, тобто в загальному випадку
AB BA.
Квадратні матриці А і В, для яких АВ = ВА, називаються комутуючими, або переставними. Прикладом переставних матриць є діагональні матриці однакових порядків.
Для будь-яких квадратних матриць A, B, С порядку n і будь-якого дійсного числа є вірними рівності:
1. (АВ)С = А(ВС) (асоціативність множення);
2. (А + В)С = АС + ВС;
3. А(В + С) = АВ + АС;
4. (АВ) = (А)В = А(В).
Оскільки множення матриць асоціативне, то можна говорити про однозначно визначений добуток будь-якого скінченного числа матриць n-го порядку, взятих (у зв’язку з некомутативністю множення) у певному порядку.
Діагональна матриця порядку n, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють числу 1, називається одиничною матрицею n-го порядку позначається символом E. Таким чином
.
Якщо E – одинична матриця порядку n, то
АЕ = ЕА = А
для кожної квадратної матриці A n-го порядку.
Нехай A – квадратна матриця n-го порядку. Для будь-якого натурального числа m степінь матриці A визначається так:
.
Під степенем ненульової матриці A з нульовим показником розуміють одиничну матрицю E того ж порядку, що і A, тобто
.
Оскільки операція множення матриць асоціативна, то для будь-якої квадратної матриці A та будь-яких цілих невід’ємних чисел m, n мають місце рівності:
1. ,
2. .
Теорема. Визначник добутку квадратних матриць A і B однакових порядків дорівнює добутку визначників цих матриць, тобто
det(AB) = detA·detB.
Доведення див., напр., в [3].
Приклад 3.5. Нехай A = , B = . Знайдемо матрицю
.
= .
= .
.
=
.
Приклад 3.6. Знайдемо всі матриці, переставні з матрицею .
Матриця, переставна з A є квадратною порядку 3. Нехай і
AB = BA. Тоді
.
Матриці однакового порядку рівні, якщо рівні їх відповідні коефіцієнти. Отже,
a = e, b = d, c = f, g = h,
а, значить, будь-яка матриця, переставна з A, має вигляд .
Приклад 3.7. Нехай . Знайдемо (m N).
, .
Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що
.
Тоді
.
Наше припущення правильне. Отже, для будь-якого m N:
.
Нехай – деякий многочлен від змінної x з дійсними коефіцієнтами і A – квадратна матриця порядку n з дійсними коефіцієнтами. Під многочленом від матриці A розуміють матрицю
,
де E – одинична матриця того ж порядку, що і A.
Приклад 3.8. Знайдемо значення , де
, .
Маємо: , де E – одинична матриця порядку 3.
Оскільки , то для будь-якого n N, а, значить, .
.
Задача 3.4. Знайти добутки AB і BA, якщо:
а) , ; б) , ;
в) , ; г) , ;
д) , ; е) , ;
є) , ; ж) , ;
з) , ; і) , ; к) , .
Задача 3.5. Знайти матрицю , якщо A = ,
B = .
Задача 3.6. Знайти (m N), якщо:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; є) A = ;
ж) A = ; з) .
Задача 3.7. A і B квадратні матриці порядку n. Знайти добутки AB і BA.
а) , B = diag(1, 2, , n);
б) A = diag( a1, a2, , an ), B =diag( b1, b2, , bn ).
Задача 3.8. Знайти , якщо:
а) A = ; б) A = .
Задача 3.9. Знайти найменше натуральне число k, таке що.
а) A = ; б) A = ;
в) A = ; г) A = .
Задача 3.10. Навести приклад неодиничної квадратної матриці A порядку 2, такої, що .
Задача 3.11. Довести, що для будь-яких натуральних чисел n і m існує неодинична квадратна матриця A n-го порядку, така, що .
Задача 3.12. Знайти значення многочлена від матриці A.
а) , ; б) , ;
в) , ;
г) , .
Задача 3.13. Навести приклад двох ненульових квадратних матриць A і B, таких, що добуток AB дорівнює нульовій матриці.
Задача 3.14. Навести приклад ненульової квадратної матриці A, такої, що дорівнює нульовій матриці при будь-якому натуральному m 2.
Задача 3.15. Знайти множину всіх квадратних матриць, переставних з матрицею A.
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .
Задача 3.16. Нехай A – діагональна матриця порядку n, всі елементи головної діагоналі якої різні. Довести, що матриця B n-го порядку переставна з A тоді і тільки тоді, коли B є діагональною.
Задача 3.17. Нехай A – скалярна матриця n-го порядку. Знайти всі квадратні матриці, переставні з A.
Задача 3.18. Нехай A – квадратна матриця порядку 2, така, що trA = 0. Довести, що матриця є скалярною.
Задача 3.19. Елементи матриці визначені за правилом:
Знайти елементи матриці B, якщо .
Задача 3.20. Елементи матриць і (n 2) визначені за правилами
( і деякі дійсні числа). Знайти елементи матриць С і D, якщо С = AB,
D = BA.
Задача 3.21. Нехай . Елементи матриці визначені за правилом
Знайти найменше натуральне число m таке, що .
Задача 3.22. Як зміниться квадратна матриця A n-го порядку, якщо її помножити на матрицю В = diag ( b1, b2, , bn ): а) зліва; б) справа?
Задача 3.23. Як зміниться квадратна матриця A n-го порядку, якщо її помножити на матрицю
порядку n:
а) зліва; б) справа?
Задача 3.24. Нехай – деяка підстановка n-го степеня. Елементи матриці визначені за правилами:
.
Довести, що тоді і тільки тоді, коли .
Задача 3.25. Нехай A, B, C – квадратні матриці однакових порядків, detA = 2, detB = 3, detC = –1. Знайти det(ABCAt).
Задача 3.26. Нехай , B1, B2, , Bn – квадратні матриці четвертого порядку. Знайти:
а) detC, якщо С = AB1 + AB2 + ··· + ABn;
б) detD, якщо D = B1At + B2At + ··· + BnAt.
Множення матриць поширюється і на прямокутні матриці. При цьому наведене вище означення залишається. Добуток AB двох прямокутних матриць A і B визначений тільки у випадку, коли кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B. Матриця-добуток AB має стільки рядків, скільки їх у першому множнику A, а стовпців – стільки, скільки їх має другий множник B, причому, якщо
і і , то елементи визначаються за правилом
(1 i k, 1 j t).
Приклад 3.9. Нехай , . З’ясуємо, який з добутків AB і BA є визначеним і знайдемо той, що є визначеним.
Число стовпців матриці A дорівнює числу рядків матриці B, а, значить, добуток AB визначений. Кількість рядків у матриці AB дорівнює кількості рядків в A, отже, AB має два рядки. Оскільки матриця B має один стовпець, то і в AB також один стовпець.
.
Число стовпців матриці B і число рядків матриці A різні, отже, добуток BA невизначений.
Приклад 3.10. Для матриць і знайдемо той із добутків AB, BA, який є визначеним.
Добуток AB визначений, оскільки в матриці A три стовпці і стільки ж рядків у матриці B. Матриця AB має один рядок і чотири стовпці.
= = =
= .
Добуток BA не є визначеним, оскільки кількість стовпців B не дорівнює числу рядків матриці A.
Задача 3.27. З’ясувати, які з добутків AB, BA є визначеними і знайти ті, що є визначеними.
а) , ; б) , ;
в) , ; г) , ;
д) , ; е) , .
Задача 3.28. Матриця має розмір 1 2, матриця – 2 3, матриця –
3 4, І так далі, і насамкінець, матриця має розмір 100 101. З’ясувати, які з поданих добутків є визначеними. Указати кількості рядків і стовпців для тих добутків, що є визначеними.
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Задача 3.29. Як зміниться добуток AB матриць A і B, якщо:
а) переставити місцями k-й та m-й рядки матриці A?
б) k-й рядок матриці A помножити на число ?
в) до k-го рядка матриці A додати m-й рядок, помножений на число ?
г) переставити місцями k-й та m-й стовпці матриці B?
д) k-й стовпець матриці B помножити на число ?
е) до k-го стовпця матриці B додати m-й стовпець, помножений на число ?
Задача 3.30. Довести, що коли добуток матриць AB визначений і в матриці A k-й рядок нульовий, то в матриці-добутку AB k-й рядок також нульовий. Чи справджується обернене твердження?
Задача 3.31. Довести, що коли добуток матриць AB визначений і в матриці B k-й стовпець нульовий, то в добутку AB k-й стовпець також нульовий. Чи справджується обернене твердження?
3. Транспонування матриці
В главі 2 розглядалась операція над матрицями, яка не є арифметичною. Нехай . Нагадаємо, що матрицею, транспонованою до матриці А, називається матриця , де .
Операція транспонування має такі властивості:
1. .
2. .
3. .
4. .
Задача 3.32. Знайти матрицю, транспоновану до матриці A.
а) ; б) ; в) ; г) .
Квадратна матриця A називається симетричною, якщо .
Якщо симетрична матриця, то з означення випливає, що для всіх .
Наприклад, симетричними є такі матриці:
, , .
Зрозуміло, що одинична, діагональна та нульова матриці є симетричними.
Квадратна матриця A називається кососиметричною, якщо .
Якщо кососиметрична матриця, то для всіх . Звідси виходить, що всі елементи головної діагоналі кососиметричної матриці дорівнюють нулю.
Кососиметричні, наприклад, такі матриці:
, , .
Приклад 3.11. Доведемо, що для будь-якої квадратної матриці A матриця є симетричною, а матриця – кососиметричною.
Із властивостей операції транспонування маємо:
,
.
Задача 3.33. Довести, що будь-яка квадратна матриця може єдиним способом бути подана у вигляді суми симетричної та кососиметричної матриць.
Задача 3.34. Довести, що коли В – симетрична (кососиметрична) матриця, то матриці , , є симетричними (кососиметричними).
Задача 3.35. Нехай A – матриця розміру k n. Довести, що добутки і є визначеними і вказати їх розміри. Довести, що ці добутки є симетричними матрицями.
Задача 3.36. Довести, що добуток двох симетричних (кососиметричних) матриць тоді і тільки тоді буде симетричною матрицею, коли ці матриці переставні.
4. Обернена матриця
Квадратна матриця A називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою – у протилежному випадку.
Наприклад, якщо
, ,
то A – вироджена, а B – невироджена.
Нехай – квадратна матриця порядку n. Матриця B називається оберненою для матриці A, якщо
AB = BA = E,
де E – одинична матриця.
Якщо квадратна матриця A має обернену, то ця обернена матриця єдина. Матрицю, обернену до A, позначають A–1.
Приклад 3.12. Покажемо,що для матриці оберненою є матриця .
Дійсно,
.
Твердження. Якщо для квадратної матриці A існує обернена матриця A–1, то A є невиродженою і .
Доведення. Нехай матриця A має обернену A–1. Тоді
.
Теорема . Нехай A – квадратна матриця порядку n. Матриця A тоді й тільки тоді має обернену матрицю A–1, коли вона є невиродженою. Якщо , то , де (1 i,j n).
Доведення дивись, напр., в [3].
З теореми виходить, що коли
і detA ≠ 0,
то
.
Матриця
називається приєднаною для матриці A і позначається . Матриця є транспонованою до матриці, складеної з алгебраїчних доповнень елементів матриці A в їх природному розміщенні, Отже,
.
Знаходження матриці A–1 можна розділити на такі етапи:
1. Знаходимо detA. Якщо detA = 0, то A–1 не існує. Якщо detA ≠ 0, то переходимо до 2.
2. Обчислюємо алгебраїчні доповнення для всіх елементів матриці
A ( 1 i,j n).
3. Будуємо приєднану матрицю .
4. Множимо всі елементи матриці на .
Відзначимо деякі властивості оберненої матриці.
1. (A–1)–1 = A.
2. Якщо для квадратних матриць A і B однакових порядків існують обернені матриці A–1 і B–1, то для добутку AB також існує обернена матриця і
(AB)–1 = B–1A–1.
3. (A–1)t = (At) –1.
Доведемо властивість 2. Нехай для квадратних матриць A і B однакових порядків існують обернені матриці A–1 і B–1. Тоді detA ≠ 0 і detB ≠ 0.
detAB = detAdetB detAB ≠ 0,
отже, існує (AB)–1.
(AB)(B–1A–1) = A(BB–1)A–1 = AEA–1 = AA–1 = E,
а, значить, (AB)–1 = B–1A–1.
Властивості 1 і 3 пропонуються для самостійного доведення.
Приклад 3.13. Знайдемо обернену матрицю для матриці .
1. Оскільки detA = –3, то матриця A–1 існує.
2. , , , .
3. Побудуємо приєднану матрицю: .
4. .
Упевнимось в тому, що обернена матриця A–1 знайдена правильно.
.
Приклад 3.14. До матриці знайдемо обернену матрицю A–1.
1. detA = –4, а, значить матриця, обернена до A існує.
2., , , , , , , , .
3. .
4. .
Задача 3.37. З’ясувати, чи існує до матриці A обернена матриця. Якщо так, то знайти A–1.
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; є) ; ж) ; з) ; і) ; к) ;
л) .
Задача 3.38. Нехай A = diag( a1, a2, , an ). За якої умови до матриці A існує обернена матриця і чому дорівнюють елементи матриці A–1, коли вона існує?
Задача 3.39. A – квадратна матриця, така що A = A–1. Знайти матрицю B, якщо B = (A + E)(A – E).
Задача 3.40. Знайти всі квадратні матриці A порядку n, такі що
A = A–1 і A15 = E.
Задача 3.41. Знайти A–1, якщо
,
причому ad – bc = fg – eh =1.
Розглянемо метод визначення оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень.
Елементарними перетвореннями матриці вважаються:
1. Додавання до якого-небудь рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця), помно-женого на деяке число.
2. Множення всіх елементів якого-небудь рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля.
3. Переставляння місцями рядків (стовпців).
Нехай A – деяка невироджена матриця. Будемо здійснювати елементарні перетворення над рядками (або стовпцями) A, щоб звести її до одиничної. Якщо ці елементарні перетворення в тій самій послідовністі здійснити і над одиничною матрицею E, то вона перейде в матрицю A–1.
Зауваження. При застосуванні цього методу елементарні перетворення роблять або тільки над рядками або тільки над стовпцями матриці.
Приклад 3.15. До матриці A = знайдемо обернену за допомогою елементарних перетворень.
Оскільки detA = –1 0, то матриця A–1 існує. Запишемо поряд з матрицею A одиничну матрицю E і будемо вказувати елементарне перетворення, яке буде здійснюватись над A. Таке ж саме перетворення будемо робити і над E, а нижче записувати матриці, змінені в результаті цього перетворення. У цьому прикладі елементарні перетворення будемо виконувати над стовпцями матриць A і E.
.
До другого стовпця додамо перший
.
До першого стовпця додамо другий, помножений на (–3)
.
Перший стовпець помножимо на (–1)
.
Отже,
.
Приклад 3.16. Знайдемо обернену матрицю до матриці .
Матриця A є невиродженою, отже, A–1 існує. Елементарні перетворення будемо здійснювати над рядками матриць.
.
Поміняємо місцями перший і другий рядки:
.
До другого рядка додамо перший, помножений на 4, а до третього рядка –перший, помножений на (–6)
.
До другого рядка додамо третій
.
Третій рядок поділимо на 2
.
Ми отримали, що
.
Приклад 3.17. Нехай. Знайдемо обернену матрицю A–1.
Зробимо над рядками матриць A і E такі елементарні перетворення: 1) до четвертого рядка додамо третій, помножений на ; 2) до третього рядка додамо другий, помножений на 2; 3) до другого рядка додамо перший, помножений на
(–2); 4) другий рядок поділимо на 2, третій – на (– 4), а четвертий – на 5.
Будемо мати:
||
|||, а, значить, .
Задача 3.42. З’ясувати, які з поданих матриць мають обернені і за допомогою елементарних перетворень знайти обернені матриці:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; є) ;
ж) ; з) ; і) ;
к) ;
Матриці, подані нижче, мають порядок n.
л) ; м) .
Задача 3.43. Як зміниться обернена матриця A–1, якщо:
а) у матриці A k-й та m-й стовпці переставити місцями?
б) у матриці A k-й та m-й рядки переставити місцями?
в) у матриці A k-й стовпець помножити на число ?
г) у матриці A до k-го рядка додати m-й рядок, помножений на число ?
Приклад 3.18. Розв’яжемо матричне рівняння
.
Із правил множення матриць виходить, що X – квадратна матриця порядку 2. Позначимо , . Обидві частини рівняння
XA = B
зліва помножимо на матрицю A–1. Отримаємо
.
Задача 3.44. Розв’язати матричні рівняння:
а) ; б) ;
в) ;
г).