2.1. Матриці. Загальні відомості

Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими математич-ними об’єктами (символами). Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то говорять, що вона має розмір k  n. Елементи матриці позначатимемо однією буквою з двома індексами, які вказують на місце елемента в матриці: перший індекс означає номер рядка, в якому знаходиться даний елемент, а другий індекс вказує місце елемента в рядку, тобто номер стовпця, в якому міститься даний елемент. Матриця розміру k  n з елементами записується в такій формі:

, або .

Для позначення матриці A розміру k  n з елементами також використовують скорочений запис

.

Далі ми будемо розглядати матриці з елементами з множини R дійсних чисел.

Дві матриці і називаються рівними, якщо для кожної пари індексівi, j (1  i  k, 1  j  n). Інакше кажучи, рівні матриці мають однакові розміри, а їх елементи, що стоять на тих самих місцях, мають збігатись.

Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків ( або стовпців ) називається порядком квадратної матриці.

Наприклад,

квадратна матриця другого порядку.

Зокрема, квадратна матриця порядку 1 – це просто один елемент.

Для квадратної матриці вводяться поняття головної та бічної діагоналей. Будемо називати головною діагоналлю матриці упорядковану сукупність елементів , що йдуть із лівого верхнього кута цієї матриці до правого нижнього її кута.Бічною діагоналлю матриці називається упорядкована сукупність елементів , які йдуть із лівого нижнього кута матриці до правого верхнього її кута.

Слідом квадратної матриці називається сума елементів її головної діагоналі. Слід матриці А позначається через trA. Отже, якщо , то .

Наприклад, якщо

,

то .

Числова квадратна матриця називається верхньою трикутною, якщо дляi > j.

Так,

верхні трикутні матриці порядку 3.

Числова квадратна матриця називається нижньою трикутною, якщо дляi  j.

Прикладом нижньої трикутної матриці другого порядку є матриця

.

Числова квадратна матриця називається діагональною, якщо дляi  j (1  i, j  n).

Наприклад,

діагональна матриця порядку 2.

Діагональна матриця D з елементами на головній діагоналі позначається.

Так,

.

Діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої однакові, називається скалярною. Наприклад,

–скалярна матриця другого порядку.

Нехай . Транспонуванням матриці А називається перехід до матриці , де . Інакше кажучи, рядки матриці– це стовпці матриці А з відповідними номерами, а стовпці матриці– це рядки матриціА і якщо A має розмір k  n, то –n  k. Матриця називається матрицею, транспонованою до А.

Наприклад, якщо

, ,

то

, .

2.2. Визначники другого та третього порядків

Розглянемо довільну квадратну матрицю n-го порядку:

.

З кожною такою матрицею можна пов’язати цілком визначену численну характеристику, яка називається визначником, відповідним цій матриці. Визначник матриці A позначається detA або |A|.

Також для визначника матриці використовується запис .

Якщо A – матриця першого порядку, тобто A складається з одного елемента, то визначником першого порядку, відповідним цій матриці, називається величина цього елемента.

Отже, коли , то

.

Якщо порядок матриці A дорівнює двом, тобто

,

то визначником другого порядку, відповідним A, називається число, яке дорівнює , отже,

.

Розглянемо квадратну матрицю третього порядку

.

Визначником (детермінантом) третього порядку, відповідним до матриці A називається число, яке добувається з виразу

. (1)

Отже,

=

= .

Цю формулу можна запам’ятати за допомогою правила трикутника. Перші три члени, що входять до правої частини виразу (1) із знаком «+» є відповідно добуток елементів головної діагоналі і добутки елементів, розташованих у вершинах трикутників, основи яких паралельні цій діагоналі. Четвертий, п’ятий та шостий члени, які входять до виразу із знаком «–» є добуток елементів бічної діагоналі і добутки елементів, які є вершинами трикутників з основами, паралельними бічній діагоналі. Це правило можна зобразити схемою

= ++–––.

Приклад 2.1. Знайдемо такі визначники:

, ,,.

;

;

;

.

Задача 2.1. Обчислити визначники:

а) ;б) ;в) ;г) ;д) ;е) ;

є) ;ж) ;з) ;і) ;

к) ;л) ;м);н) ; о) .