1, 2, …, N.

Тоді парність підстановки визначається парністю перестановки

,

яка розміщена в другому рядку таблиці.

Отже, підстановка

є парною тоді і тільки тоді, коли парною є перестановка .

Серед підстановок n-го степеня половина – парних, половина – непарних.

Приклад 1.4. Знайдемо парність підстановки

.

Запишемо у вигляді (2):

.

Парність підстановки визначається парністю перестановки 5, 2, 6, 1 ,4, 3. Випишемо всі пари елементів, що утворюють інверсію відносно:

(5, 2), (5, 1), (5, 4), (5, 3), (2, 1), (6, 1), (6, 4), (6, 3), (4, 3).

Кількість цих пар дорівнює непарному числу 9, отже, є непарною.

Приклад 1.5. З’ясуємо, якою є парність підстановки

степеня 100.

Визначимо парність перестановки 2, 1, 4, 3, , 100, 99. Інверсію відносно цієї перестановки утворюють 50 пар елементів:

(1, 2), (3, 4), , (99, 100),

а, значить, підстановка є парною.

Приклад 1.6. Розглянемо підстановку

n-го степеня і визначимо її парність.

Кожен елемент перестановки n, n1, , 2, 1 утворює інверсію з усіма елементами, що розміщені правіше його. Отже, інверсію відносно цієї перестановки утворюють такі пари елементів:

(n, n–1), (n, n–2), , (n, 2), (n, 1), (n1, n–2), , (n1, 2), (n1, 1),,(2, 1).

Кількість цих пар дорівнює числу

.

Звідси виходить, що підстановка є парною, якщо парним є число, і непарною у протилежному випадку.

Задача 1.9. Які з поданих підстановок є парними?

а) ;б) ;в) ;г) ;

д) ;е) ;є) ;

ж) ;з) .

Задача 1.10. Навести приклад непарної підстановки десятого степеня.

Задача 1.11. Визначити парність підстановки

степеня 2n (n є N).

Задача 1.12. Визначити парність підстановки степеня 3n (n є N):

а) ;

б) .

Задача 1.13. Визначити парність підстановки степеня 4n (n є N):

а) ;

б) .

Нехай і– підстановки степеняn. Добутком підстановокі називається підстановка n-го степеня, яка є результатом послідовного виконання спочатку підстановки , а потім, тобто

.

Множення визначене лише для підстановок однакового степеня.

Приклад 1.7. Знайдемо добутки і підстановок

і .

Оскільки

, ,,,

то

.

Розмірковуючи аналогічно, отримаємо:

.

Множення підстановок n-го степеня при n  3 некомутативне, тобто в загальному випадку .

Задача 1.14. Знайти добутки і поданих підстановок.

а) ,;б) ,;

в) ,;

г) ,;

д) ,.

Якщо – тотожня підстановкаn-го степеня, то для будь-якої підстановки n-го степеня

.

Нехай – підстановкаn-го степеня. Підстановка того ж степеняn називається оберненою підстановкою до , якщо

.

Підстановка, обернена до , позначається.

Легко бачити, що до підстановки

оберненою є підстановка

.

Приклад 1.8. До підстановки

знайдемо обернену.

.

Задача 1.15. До підстановки знайти обернену:

а) ;б) ;в) ;

г) ; д) .

Задача 1.16. Яка підстановка є оберненою до тотожньої підстановки ?

Задача 1.17. До підстановки

степеня 2n (n є N) знайти обернену.

Задача 1.18. До підстановки

степеня 4n (n є N) знайти обернену.

Задача 1.19. Навести приклад підстановки степеня 20, такої, щоі.

Із означення парної (непарної) підстановки випливає, що підстановки імають однакові парності.

2. Визначники