Відповіді

1.1. перестановки із а), г) – парні, із б), в), д) – непарні. 1.2. перестановки із а), б), в) – непарні, із г) – парна. 1.3. .

1.4. . 1.5. а) , . 1.6. 120. 1.7. 720.

1.8. (n – k)!. 1.9. б), в), г), є), з). 1.11. парна, якщо число n парне і непарна, якщо n непарне. 1.12. а) є парною, якщо число n парне і непарною – у протилежному випадку; б) парна. 1.13. а) є парною, якщо n парне і непарною– якщо n непарне; б) парна. 1.14. а) , ;

б) , ; в) , ; г) ; д) . 1.15. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . 1.16. . 1.17. .

1.18. .

2.1. а) 7; б) 0; в) ab; г) –ab; д) 11; е) 0; є) 0; ж) –1; з) abc; і) –abc; к) –abc; л) 0;

м) ad – bc; н) adf; о) –abc. 2.2. а) не входить; б) входить із знаком «+»; в) входить із знаком «–»; г) входить із знаком «–»; д) не входить; е) входить із знаком «+»; є) входить із знаком «–». 2.3. (–1)^n–1. 2.4. i = 3, j = 5. 2.5. i = j = 4, k = 3. 2.6. 0. 2.7. –1, 0 або 1. 2.8. а) 24; б) –30; в) –144; г) 0; д) 1; е) abcd; є) –abcd; ж) 0. 2.9. а) 1;

б) (–1)ⁿ; в) n!; г) 0; д) 0; е) ; є) ;

ж) ; з) 0. 2.10. (–1)^n–1·2ⁿ. 2.12. Не зміниться. 2.13. Змінить знак. 2.14. Помножиться на . 2.15. Помножиться на (–1)ⁿ. 2.16. Змінить знак. 2.17. Помножиться на 3. 2.18. а) ; б) ; в) . 2.19. . 2.21. а) 4; б) 240; в) 21; г) 7; д) ;е) 44; є) 3; ж) 280; з) –; і) . 2.23. xⁿ + (1)ⁿ⁺¹yⁿ. 2.25. а) 52; б) 6; в) 56; г) ; д) ;

е) ; є) ;ж) ; з) n + 1; і) .

2.26. 1. 2.27. . 3.1. а) ; б) ; в) ; г) . 3.2. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . 3.3. а) , ; б) , .3.4. а) , ; б) ;

в) ; г) ,;

д) , ; е) , ;

є) , ; ж) ;

з) ; і) , ;

к) , . 3.5. .

3.6. а) ; б) ; в) при m  2 ; г) ;

д) ; е) , якщо m непарне, , якщо m парне ;

є) ; ж) ; з) .

3.7. а) ,;

б) AB = BA = diag( a₁b₁, a₂b₂,, a_nb_n). 3.8. а) E; б) –E. 3.9. а) 34; б) 42; в) 2; г) 4.

3.12. а) ; б) ; в) ; г) .

3.15. а) ; б) ; в) усі квадратні матриці порядку 3; г) усі діагональні матриці порядку 3; д) ; е) . 3.17. Усі квадратні матриці порядку n.

3.19. , де

3.20. , де D = C. 3.21. n.

3.22. а) відповідні рядки матриці A помножаться на числа b₁, b₂, , b_n;

б) відповідні стовпці матриці A помножаться на числа b₁, b₂, , b_n. 3.23. а) рядки матриці A запишуться в оберненому порядку; б) стовпці матриці A запишуться в оберненому порядку. 3.25. –12. 3.26. а) 0; б) 0. 3.27. а) , добуток BA невизначений; б) AB і BA невизначені; в) добуток AB невизначений, ; г) , ; д) добуток AB невизначений, ; е) AB і BA невизначені. 3.28. Визначеними є добутки (розмір 13), (розмір 5153), (розмір 97101), (розмір 1101). 3.29. у всіх випадках аналогічні перетворення відбудуться в матриці AB. 3.30. Обернене твердження не є вірним. 3.31. Обернене твердження не є вірним. 3.32. а) ; б) ;

в) ; г) . 3.35. – квадратна матриця порядку k, – квадратна матриця порядку n. 3.37. а) ; б) ;

в) ; г) A^–1 не існує; д) ; е) A^–1 не існує;

є) ; ж) ; з) ;

і) ; к) ;

Л) . 3.38. A–1 існує тоді і тільки тоді, коли всі ai, ≠ 0, 1  I  n,

і в цьому випадку . 3.39. B = 0. 3.40. E.

3.41. . 3.42. а) ; б) A^–1 існує тоді і тільки тоді, коли a ≠ 0, c ≠ 0 і в цьому випадку ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

є) A^–1 існує тоді і тільки тоді, коли a ≠ 0 і в цьому випадку ;

ж) ; з) ; і) ;

к) A^–1 існує тоді і тільки тоді, коли abcd ≠ 0 і в цьому випадку ; л) ; м) .

3.43. а) у матриці A^–1 поміняються місцями k-й та m-й рядки; б) у матриці A^–1 поміняються місцями k-й та m-й стовпці; в) у матриці A^–1 k-й рядок помножиться на число ; г) у матриці A^–1 із m-го стовпця відніметься k-тий, помножений на . 3.44. а) ; б) ; в) ; г) .