zadmeh2

Задача 3.1. Задано матриці:

, , .

Знайти: а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 3.2. Знайти матрицю X, якщо:

а) ; б) ; в) ;

г) ;

д) .

Задача 3.3. Знайти матриці X та Y, якщо:

а) б)

Задача 3.4. Знайти добутки AB і BA, якщо:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) , ;

є) , ; ж) , ;

з) , ; і) , ; к) , .

Задача 3.5. Знайти матрицю , якщо A = ,

B = .

Задача 3.6. Знайти (m  N), якщо:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; є) A = ;

ж) A = ; з) .

Задача 3.7. A і B квадратні матриці порядку n. Знайти добутки AB і BA.

а) , B = diag(1, 2, , n);

б) A = diag( a₁, a₂, , a_n ), B =diag( b₁, b₂, , b_n ).

Задача 3.8. Знайти , якщо:

а) A = ; б) A = .

Задача 3.9. Знайти найменше натуральне число k, таке що.

а) A = ; б) A = ;

в) A = ; г) A = .

Задача 3.10. Навести приклад неодиничної квадратної матриці A порядку 2, такої, що .

Задача 3.11. Довести, що для будь-яких натуральних чисел n і m існує неодинична квадратна матриця A n-го порядку, така, що .

Задача 3.12. Знайти значення многочлена від матриці A.

а) , ; б) , ;

в) , ;

г) , .

Задача 3.13. Навести приклад двох ненульових квадратних матриць A і B, таких, що добуток AB дорівнює нульовій матриці.

Задача 3.14. Навести приклад ненульової квадратної матриці A, такої, що дорівнює нульовій матриці при будь-якому натуральному m  2.

Задача 3.15. Знайти множину всіх квадратних матриць, переставних з матрицею A.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Задача 3.16. Нехай A – діагональна матриця порядку n, всі елементи головної діагоналі якої різні. Довести, що матриця B n-го порядку переставна з A тоді і тільки тоді, коли B є діагональною.

Задача 3.17. Нехай A – скалярна матриця n-го порядку. Знайти всі квадратні матриці, переставні з A.

Задача 3.18. Нехай A – квадратна матриця порядку 2, така, що trA = 0. Довести, що матриця є скалярною.

Задача 3.19. Елементи матриці визначені за правилом:

Знайти елементи матриці B, якщо .

Задача 3.20. Елементи матриць і (n  2) визначені за правилами

( і  деякі дійсні числа). Знайти елементи матриць С і D, якщо С = AB,

D = BA.

Задача 3.21. Нехай . Елементи матриці визначені за правилом

Знайти найменше натуральне число m таке, що .

Задача 3.22. Як зміниться квадратна матриця A n-го порядку, якщо її помножити на матрицю В = diag ( b₁, b₂, , b_n ): а) зліва; б) справа?

Задача 3.23. Як зміниться квадратна матриця A n-го порядку, якщо її помножити на матрицю

порядку n:

а) зліва; б) справа?

Задача 3.24. Нехай – деяка підстановка n-го степеня. Елементи матриці визначені за правилами:

.

Довести, що тоді і тільки тоді, коли .

Задача 3.25. Нехай A, B, C – квадратні матриці однакових порядків, detA = 2, detB = 3, detC = –1. Знайти det(ABCA^t).

Задача 3.26. Нехай , B₁, B₂, , B_n – квадратні матриці четвертого порядку. Знайти:

а) detC, якщо С = AB₁ + AB₂ + ··· + AB_n;

б) detD, якщо D = B₁A^t + B₂A^t + ··· + B_nA^t.

Задача 3.27. З’ясувати, які з добутків AB, BA є визначеними і знайти ті, що є визначеними.

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) , .

Задача 3.28. Матриця має розмір 1  2, матриця – 2  3, матриця –

3  4, і так далі, і насамкінець, матриця має розмір 100  101. З’ясувати, які з поданих добутків є визначеними. Указати кількості рядків і стовпців для тих добутків, що є визначеними.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задача 3.29. Як зміниться добуток AB матриць A і B, якщо:

а) переставити місцями k-й та m-й рядки матриці A?

б) k-й рядок матриці A помножити на число ?

в) до k-го рядка матриці A додати m-й рядок, помножений на число ?

г) переставити місцями k-й та m-й стовпці матриці B?

д) k-й стовпець матриці B помножити на число ?

е) до k-го стовпця матриці B додати m-й стовпець, помножений на число ?

Задача 3.30. Довести, що коли добуток матриць AB визначений і в матриці A k-й рядок нульовий, то в матриці-добутку AB k-й рядок також нульовий. Чи справджується обернене твердження?

Задача 3.31. Довести, що коли добуток матриць AB визначений і в матриці B k-й стовпець нульовий, то в добутку AB k-й стовпець також нульовий. Чи справджується обернене твердження?

Задача 3.32. Знайти матрицю, транспоновану до матриці A.

а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 3.33. Довести, що будь-яка квадратна матриця може єдиним способом бути подана у вигляді суми симетричної та кососиметричної матриць.

Задача 3.34. Довести, що коли В – симетрична (кососиметрична) матриця, то матриці , , є симетричними (кососиметричними).

Задача 3.35. Нехай A – матриця розміру k  n. Довести, що добутки і є визначеними і вказати їх розміри. Довести, що ці добутки є симетричними матрицями.

Задача 3.36. Довести, що добуток двох симетричних (кососиметричних) матриць тоді і тільки тоді буде симетричною матрицею, коли ці матриці переставні.

Задача 3.37. З’ясувати, чи існує до матриці A обернена матриця. Якщо так, то знайти A^–1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; є) ; ж) ; з) ; і) ; к) ;

л) .

Задача 3.38. Нехай A = diag( a₁, a₂, , a_n ). За якої умови до матриці A існує обернена матриця і чому дорівнюють елементи матриці A^–1, коли вона існує?

Задача 3.39. A – квадратна матриця, така що A = A^–1. Знайти матрицю B, якщо B = (A + E)(A – E).

Задача 3.40. Знайти всі квадратні матриці A порядку n, такі що

A = A^–1 і A¹⁵ = E.

Задача 3.41. Знайти A^–1, якщо

,

причому ad – bc = fg – eh =1.

Задача 3.42. З’ясувати, які з поданих матриць мають обернені і за допомогою елементарних перетворень знайти обернені матриці:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; є) ;

ж) ; з) ; і) ;

к) ;

Матриці, подані нижче, мають порядок n.

л) ; м) .

Задача 3.43. Як зміниться обернена матриця A^–1, якщо:

а) у матриці A k-й та m-й стовпці переставити місцями?

б) у матриці A k-й та m-й рядки переставити місцями?

в) у матриці A k-й стовпець помножити на число ?

г) у матриці A до k-го рядка додати m-й рядок, помножений на число ?

Задача 3.44. Розв’язати матричні рівняння:

а) ; б) ;

в) ;

г).

Відповіді

1.1. перестановки із а), г) – парні, із б), в), д) – непарні. 1.2. перестановки із а), б), в) – непарні, із г) – парна. 1.3. .

1.4. . 1.5. а) , . 1.6. 120. 1.7. 720.

1.8. (n – k)!. 1.9. б), в), г), є), з). 1.11. парна, якщо число n парне і непарна, якщо n непарне. 1.12. а) є парною, якщо число n парне і непарною – у протилежному випадку; б) парна. 1.13. а) є парною, якщо n парне і непарною– якщо n непарне; б) парна.

2.1. а) 7; б) 0; в) ab; г) –ab; д) 11; е) 0; є) 0; ж) –1; з) abc; і) –abc; к) –abc; л) 0;

м) ad – bc; н) adf; о) –abc. 2.2. а) не входить; б) входить із знаком «+»; в) входить із знаком «–»; г) входить із знаком «–»; д) не входить; е) входить із знаком «+»; є) входить із знаком «–». 2.3. (–1)^n–1. 2.4. i = 3, j = 5. 2.5. i = j = 4, k = 3. 2.6. 0. 2.7. –1, 0 або 1. 2.8. а) 24; б) –30; в) –144; г) 0; д) 1; е) abcd; є) –abcd; ж) 0. 2.9. а) 1;

б) (–1)ⁿ; в) n!; г) 0; д) 0; е) ; є) ;

ж) ; з) 0. 2.10. (–1)^n–1·2ⁿ. 2.12. Не зміниться. 2.13. Змінить знак. 2.14. Помножиться на . 2.15. Помножиться на (–1)ⁿ. 2.16. Змінить знак. 2.17. Помножиться на 3. 2.18. а) ; б) ; в) . 2.19. . 2.21. а) 4; б) 240; в) 21; г) 7; д) ;е) 44; є) 3; ж) 280; з) –; і) . 2.23. xⁿ + (1)ⁿ⁺¹yⁿ. 2.25. а) 52; б) 6; в) 56; г) ; д) ;

е) ; є) ;ж) ; з) n + 1; і) .

2.26. 1. 2.27. . 3.1. а) ; б) ; в) ; г) . 3.2. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . 3.3. а) , ; б) , .3.4. а) , ; б) ;

в) ; г) ,;

д) , ; е) , ;

є) , ; ж) ;

з) ; і) , ;

к) , . 3.5. .

3.6. а) ; б) ; в) при m  2 ; г) ;

д) ; е) , якщо m непарне, , якщо m парне ;

є) ; ж) ; з) .

3.7. а) ,;

б) AB = BA = diag( a₁b₁, a₂b₂,, a_nb_n). 3.8. а) E; б) –E. 3.9. а) 34; б) 42; в) 2; г) 4.

3.12. а) ; б) ; в) ; г) .

3.15. а) ; б) ; в) усі квадратні матриці порядку 3; г) усі діагональні матриці порядку 3; д) ; е) . 3.17. Усі квадратні матриці порядку n.

3.19. , де

3.20. , де D = C. 3.21. n.