2.2. Односторонние пределы.

Если исследовать поведение функции слева (или справа) от точки, то есть, при стремлении к точкеаргументфункциипринимает значения только меньшие (или большие), то приходим к понятиюодносторонних пределов.

Определение. Число называется пределом функциислева при стремящемся ки пишут

,

если для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число, зависящее от, то есть, такое, что для всехиз интервала

(3)

выполняется неравенство

. (4)

Аналогично определяется предел функции справа для значенийх из интервала .

Отметим, что левый и правый пределы могут оказаться неравными.

2.3. Необходимое и достаточное условия

существования предела функции в точке.

Теорема. Для того чтобы функция имела предел в точкенеобходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовал правый и левый пределы, и они были равны:

. (5)

2.4. Непрерывность функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Функция называется непрерывной в точке, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке(то есть существует); 2) имеет конечный предел при; 3) этот предел равен значению функции в этой точке:.

Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Если функция не является непрерывной в точке(не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности), то точка называетсяточкой разрыва, а сама функция -разрывной.

Классификация точек разрыва.

Различают точки разрыва первого и второго рода.

Определение.Точка называетсяточкой разрыва первого рода, если:

1) оба односторонних предела существуют и конечны, но они не равны между собой

(конечный разрыв, скачок функции),

либо

2) они равны между собой, но не равны значению функции в данной точке

(устранимый разрыв).

В первом случае (рис.3,а) имеем конечный скачок функции в точке , равный:

.

Определение. Точка называетсяточкой разрыва второго рода, если один или оба односторонних предела равны бесконечности (рис 3.б - бесконечный разрыв), или не существуют.

у у

1 М

0 х 0 3 х

а) б)

Рис. 3. Разрывы первого (конечный разрыв) и второго рода (бесконечный разрыв).

2.5. Бесконечно большие функции.

В точке бесконечного разрыва функция стремится к бесконечности при. Дадим определение предела функции в этом случае.

Определение. Функция стремится к бесконечности при и называется бесконечно большой величиной при если для любого сколь угодно большого положительного числа найдется положительное число, зависящее от, то есть, такое, что для всехи удовлетворяющих условию

(6)

выполняется неравенство

. (7)

Этот факт записывают следующим образом:

(8)

Аналогично вводится понятие бесконечно большой функции в точке справа и слева (рис.3.б):

;.

Функция пристремится к бесконечности и при этом принимает только отрицательные значения, а при- только положительные.

Отметим, что функция может не иметь предела. Например, функцияприне имеет ни конечного, ни бесконечного предела.