
- •Раздел 1.Введение в математичекий анализ.
- •1. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций.
- •2. Предел функции.
- •2.1. Предел функции в точке на языке (по Коши).
- •2.2. Односторонние пределы.
- •Классификация точек разрыва.
- •2.5. Бесконечно большие функции.
- •Свойства бесконечно больших величин (ббв).
- •Связь бесконечно малых (бм) с пределами функций.
- •. Свойства бесконечно малых (бм) функций.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •2.7. Основные теоремы о пределах.
Раздел 1.Введение в математичекий анализ.
1. Понятие функции одной переменной
Переменной называется величинаx, которая в течение данного процесса принимает различные значения.
Постоянную величину
можно рассматривать как частный
случай переменной, принимающей одно и
то же значение
.
Совокупность (множество) всех
значений, которые принимает переменная
величина
,
называетсяобластью изменения
переменной и обозначают
.
Переменная величина
считается заданной, если известно
множество значений
,
которое она принимает.
Определение. Переменная величина
называетсяфункцией от
переменной
если каждому значению переменной
из области ее изменения
,
то есть,
,
поставлено в соответствие по
некоторому правилу или закону одно
определенное значение
из области изменения
,
то есть,
(однозначная функция).
Тот факт, что переменная
есть функция от
записывается следующим образом:
.
Переменная
называетсянезависимой
переменной или аргументом,
– зависимая
переменная.
Буквамиобозначают правило или закон, по которому
аргументу
ставится в соответствие зависимая
переменная
.
Область изменения аргумента
называетсяобластью определения
или существования функции,а
множество
–областью изменения функции.
Геометрически значение переменной изображается точкой на числовой оси - бесконечной прямой, на которой выбрана произвольная точка отсчета0, положительное направление (указывается стрелкой) и масштаб длины.
Область существования
функции
может состоять как из отдельных точек
(значений), так и из совокупности точек.
Если переменная
находится в пределах:
1.
- то область
называется отрезокили
замкнутый промежуток
.
2.
,
то область
называется интервал,
открытый промежуток (a,b).
3.или
,
то область
называется полуинтервал (a,b],
[a,b)
Наряду с этими рассматриваются
бесконечные и полубесконечные интервалы
и полуинтервалы:
,
,
,
,
.
Отрезок, интервал, полуинтервал объединяют общим термином – промежуток.
Если
-
некоторое значение независимой переменной
из области определения функции, то
есть
,
то ему будет соответствовать некоторое
значение
из
области изменения функции
.
Это значение
называютзначением функции в точке
.
Например, если
,
то
.
Способы задания функций.
Существует несколько основных способов задания функций.
1. Табличный способ:
х |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
2. Графический – изображение графика
функции
.
3. Аналитический – когда функция задана одной или несколькими формулами:
2. Предел функции.
2.1. Предел функции в точке на языке (по Коши).
Пусть функциязадана в некоторой окрестности точки
за
исключением, быть может, самой точки
.
Рассмотрим поведение функции при
.
Определение. Число А называется
пределом функции при
стремящемся к
(
или в точке
),
и пишут
,
если для любого сколь угодно малого
положительного числа
найдется положительное число
,
зависящего от
,
то есть
,
такое, что для всех
и удовлетворяющих условию
(1)
выполняется неравенство
.
(2)
Геометрический смысл предела функции в точке.
Неравенства (1) и (2) эквивалентны двойным неравенствам:
,
.
Интервал (называется
-окрестностью
точки
,
а интервал(
)
-
-окрестностью
точки А.
Тот факт, что число А является
пределом функциипри
геометрически означает: каков бы ни был
наперед заданный интервал
,
лежащий на оси
,
найдется
-окрестность
точки
(такое
значение числа
),лежащая на оси
,
такая, что для всех значений аргумента
функциихиз этой окрестности,
исключая, быть может, саму точку
(
)
,соответствующие значения функции
будут находиться в
-окрестности
точкиА. При этом график функции
будет лежать внутри прямоугольника,
ограниченного прямыми
(рис.1).
A
О
Рис.1. Геометрический смысл предела функции в точке
Замечание. Определение
предела не требует, чтобы функция
существовала в самой точке
,
а только в ее окрестности. То есть,
поведение функции, и предел функции
рассматриваются в окрестности точки и
не связаны со значением функции или
отсутствием значения функции в самой
точке.
Пример. Покажем, что,
хотя функция
в точке
не определена.
Пусть задано произвольное число
.По определению, необходимо найти
такое
,
чтобы для всех значений аргументов
функции из
-окрестности
точки
= 3, то есть,
, выполнялось неравенство:
.
Разложив в числителе разность квадратов, получим следующие эквивалентные неравенства:
.
В самой точке
знаменатель обращается в ноль, однако,
в окрестности точки при
знаменатель
и дробь можно сократить на число, отличное
от нуля.
.
Если взять
,
то для всех
,
из
окрестности
точки
будет выполняться неравенство
.
Значит, предел в точке
= 3 равен 6.