Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чеченский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bessel functions

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

285.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

программы, однако (38) иллюстрирует важное свойство функций Yn(x): все они неограниченно возрастают при x ! 0. Уместно напомнить, что для функций Бесселя первого рода выполняются соотношения: J0(0) = 1 (ïðè n = 0) è Jn(0) = 0, J n(0) = 1, если n 1. Для функций Бесселя второго рода Yn(0) = 1 при n 1 из-за второго слагаемого в (38), а Y0(0) = 1 из-за наличия логарифма в первом слагаемом этой формулы.

1.2.3. Функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля

Функции Бесселя третьего рода, определенные следующим образом:


		i
H(1)(x) J + iY (x) =			hJ (x)e i J (x)i		;	(39)
	sin
		i
H(2)(x) J iY (x) =				hJ (x) J (x)eii	;	(40)
		sin

оказались весьма полезными при аналитическом продолжении функций Бесселя в комплексную область x ! z = x+iy. В данном курсе лекций функции

Ханкеля приводятся исключительно в справочных целях. Подчеркнем только одно замечательное свойство этих функций:

H	(1)	(x) = eiH(1)	(x) ;	H	(2)	(x) = e iH(2)	(x) ;	(41)

указывающее на симметрию относительно замены индекса на .

1.2.4. Функции Бесселя мнимого аргумента

Модифицированное уравнение Бесселя (2) можно формально получить из уравнения Бесселя (1) заменой x на ix, следовательно, функция Бесселя J (ix) является решением уравнения (2). Однако, для того, чтобы представить общее решение уравнения (2) с помощью действительных функций

y(x) = C1 I (x) + C2 K (x) ;

(42)

были введены функции Бесселя мнимого аргумента I (x) и K (x) по следующим правилам:

I x	i J ix	1	x +2m	;	(43)
( )		X
	(	) = m=0
	(	) = m=0	(m+1) ( +m+1)

K (x) =		[I (x) I (x)] :	(44)
	2 sin

Функции K (x) более известны как функции Макдональда; они нашли широкое применение в статистической теории релятивистских систем. Функции Макдональда являются четными функциями индекса , поскольку имеет ме-

сто замечательное соотношение K (x) = K (x). Функции I (x) обладают подобной симметрией: In(x) = I n(x), но только при целом значении индекса

= n.

1.3.Замечание о дифференциальных уравнениях, сводящихся к

уравнениям Бесселя

В финале первой лекции следует упомянуть о трех типах дифференциальных уравнений, которые сводятся к уравнению Бесселя заменой аргумента, заменой функции или комбинацией этих двух замен.

1.3.1. Дифференциальное уравнение

x2y00 + xy0 + ( 2x2 2)y = 0 ;

(45)

отличающееся от (1) только множителем 2 перед x2, имеет общее решение âèäà

y(x) = C1 J ( x) + C2 Y ( x) :	(46)
1.3.2. Дифференциальное уравнение
x2y00 + axy0 + (x2 2)y = 0 ;	(47)

отличающееся от (1) только множителем a перед производной первого порядка, заменой

			1 a
	y(x) = x 2 Z(x)				(48)
сводится к уравнению Бесселя
x2Z00 + xZ0 + (x2 2)y = 0					(49)
с параметром		1
2	2			(a 1)2 :
		+			(50)
			4
Общее решение уравнения (47) представляется в виде
1 a		J (x) + C2 Y (x)] :
y(x) = x	2 [C1				(51)

1.3.3 Дифференциальное уравнение

x2y00 + axy0 + ( 2x2k + c)y = 0 ; k 6= 0 ; 6= 0 ;									(52)
очевидно, имеет общее решение
y(x) = x1 2 a "C1 J					xk! + C2 Y			xk!# ;	(53)
				k			k
где параметр определен равенством
	1	q				:
			(1 a)2 4c						(54)
	2k

О других уравнениях, сводящихся к уравнению Бесселя, можно прочитать в фундаментальном справочнике [6]. Для тех, кто интересуется представлением функций Бесселя в терминах решений гипергеометрического уравнения, рекомендую изучить монографию [7].

ЛЕКЦИЯ II.

Интегральные представления функций Бесселя, рекуррентные соотношения и производящая функция

2.1. Представление функций Бесселя с помощью рекуррентных соотношений

2.1.1. Вывод рекуррентных соотношений

Три функции Бесселя одного и того же аргумента с индексами, отлича- ющимися на единицу, J 1(x), J (x) è J +1(x), связаны линейным соотношением, которое принято называть рекуррентным. Для того, чтобы получить это рекуррентное соотношение, проделаем следующую цепочку операций. Во-

первых, найдем производную от произведения						x J (x) и преобразуем е¼ с
помощью первого свойства гамма-функции:
	d [x J (x)] =	d	1	( 1)m	x		2m+2	2	=
					2
			X
dx		dx m=0			(m+1) ( +m+1)

1x 2m+2 1

X	m	2
= ( 1)			= x J 1(x) :	(55)
= ( 1)		(m+1) ( +m)	= x J 1(x) :	(55)
m=0

Если проделать аналогичную операцию с произведением x J (x), то полу- ченная формула и формула (55) дают следующую пару дифференциальных соотношений:

d		d
	[x J (x)] = x J 1(x) ;		hx J (x)i = x J +1(x) :	(56)
dx		dx

Выполнив дифференцирование и разделив первое и второе равенства, соот- ветственно, на x и x , выразим производную от функции Бесселя

J0	(x) = J 1(x)			J0	(x) = J +1(x) +
			J (x) ;				J (x) :	(57)
		x				x

Складывая и вычитая эти равенства, получим два соотношения

(

) =

+1(

)

; J

x J

(

)

(58)

1( )

1( )+

+1( ) =

Первое из них позволяет выразить производную от функции Бесселя индексачерез функции индексов +1 и 1. Второе из равенств (58) представляет

собой искомое рекуррентное соотношение.

Из дифференциальных соотношений для функций Бесселя (56) вытекают два важных следствия. Во-первых, разделим соотношения (56) на x, про-

дифференцируем их еще раз, затем повторим указанную операцию нужное число раз. Тогда очевидными становятся дифференциальные соотношения

k-го порядка

x 1 d !k [x J (x)] = x kJ k(x) ; dx

x 1	d	!k	x J (x)	= (	1)kx kJ +k(x) :	(59)

	dx		h	i

Во-вторых, интегрируя соотношения для функций Бесселя (56), получим известные неопределенные интегралы

Z Z

dx x J 1(x) = x J (x) ; dx x J +1(x) = x J (x) : (60)

Функции Бесселя второго рода Y (x) подчиняются тем же базовым дифференциальным соотношениям (56), что и функции J (x). Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно взять определение (34), воспользоваться формулами (56) с учетом того, что sin = sin ( 1) и cos = cos ( 1).

Это означает, что все остальные соотношения (57)-(60) также не меняют своего вида при замене J на Y .

Рекуррентные соотношения для I (x), - функций Бесселя мнимого аргумента, получаются аналогично, но теперь они основываются на дифференцировании формулы (43). Легко убедиться, что появляющиеся отличия связаны с изменением знака во втором равенстве (56):

[x I (x)] = x I 1(x) ;

hx I

(x)i = x I +1(x) ;

(

) =

x I

; I

)

+1(

) =

)

;

)+ +1( )

x (

x 1

!k [x I (x)] = x kI k(x) ;

x 1

x I

(x) = x kI +k(x) ;

dx x I 1(x) = x I (x) ;

dx x I +1(x) = x I (x) :

(61)

Из (61) с учетом определения (44) и равенства sin = sin ( 1) получаем аналогичные соотношения для функций Макдональда K (x):

[x K (x)] = x K 1(x) ;

hx K (x)i = x K +1(x) ;

(62)

) =

;

)

) =

;

(63)

(

+1( )

+1(

( )

x 1

!k [x K (x)] = (

1)kx kK

k(x) ;

(64)

x 1

x K (x)

= ( 1)kx kK +k(x) ;

(65)

dx x K 1(x) = x K (x) ;

dx x K +1(x) = x K (x) :

(66)

Формулы (61)-(66) рекомендуется проверить самостоятельно.

2.1.2. Приложение рекуррентных соотношений к функциям Бесселя целого индекса ( = n)

Используя рекуррентные соотношения, полученные в предыдущем разделе, любую функцию Jn(x) целого индекса можно выразить через Jn 1(x) è Jn 2(x). В свою очередь Jn 1(x) выражается через Jn 2(x) è Jn 3(x) è òàê

далее. В результате функция Бесселя Jn(x)

может быть представлена как

линейная комбинация двух функций J0(x) è J1

(x):

Jn(x) =

! J0

(x) +

! J1(x) ;

(67)

в которой символами Pn 2

è Qn 1

x1 обозначены полиномы соответству-

ющей степени от обратной величины аргумента. Структура этих полиномов становится понятной, если привести несколько примеров для малых значений n:

					2
	J2(x) = J0(x) +						J1(x) ;
						x
J3	(x) =		4	J0(x) +	1 +			8	! J1(x) ; :::	(68)
								2
		x					x

Если мы имеем дело с функцией Бесселя отрицательного индекса J n, òî ïî- мощью соотношения (33) она может быть сведена к Jn, а затем представлена

разложением (67). Наконец, отметим, что второе из соотношений (57) при= 0 дает важное следствие:

J1(x) = J00(x) :

(69)

Это означает, что âñå функции Бесселя целого индекса могут быть представлены соотношением типа (67) с помощью единственной функции нулевого индекса

1x 2m

X	m	2
J0(x) = ( 1)
J0(x) = ( 1)		(m!)2	(70)
m=0

и е¼ производной первого порядка.

2.1.3. Функции Бесселя полуцелого индекса ( =n+12)

Согласно рекуррентному соотношению (58) все функции Бесселя полуцелого индекса Jn+12 (x) могут быть представлены как линейные комбинации

двух функций

(x)

, в частности,

2 (x)

(x) ;

J2 (x) = J 2 (x) + xJ2

2 (x) =

1! J2 (x)

(x) ; :::

xJ 2

(71)

С другой стороны, принимая во внимание решение (16), согласно которому

функции Бесселя J1 (x) è J 1 (x) могут быть выражены через элементарные

2 2

функции, получим, что все Jn+12 (x) выражаются через элементарные функции. Именно это замечательное свойство выделяет функции Бесселя полу-

целого индекса среди остальных функций этого вида и предоставляет явную возможность проиллюстрировать на их примере все основные свойства функций Бесселя.

Функция J1 (x) представляется рядом

	1		x 2m+21
J2	X	m	2		:
	X			2
	(x)= m=0( 1)		(m+1)	3+m		(72)
1						(72)

Для того, чтобы обнаружить в н¼м разложение знакомой элементарной функции, вычислим отдельно величину

22m+1 (m+1)	3	+m! :	(73)
	2

Раскрыв гамма-функции с помощью соотношений (19), (20)

22m+1 [1	2	(m	1)	m] "	m+	1	!	m	1	!		3	1			1	!#	(74)

									2			2	2
					2										2
и реорганизовав произведение с помощью множителя 22m+1 ê âèäó
2 4 2(m 1) 2m (2m+1) (2m 1) 3										p			p					(75)
									1		=			(2m+1)! ;

получаем, что преобразованный ряд сводится к функции sin x, а сама функция Бесселя принимает вид

(x) = v

(

1)m

x2m+1

= v

sin x :

(76)

m=0

(2m+1)!

Аналогичная процедура приводит к формуле для J 12 (x):

1 (x) = v

(

1)m

x2m

= v

cos x :

(77)

(2m)!

u x m=0

Функции Вебера-Шлефли (34) при =21

сводятся к найденным функциям:

Y 1 (x) = J1 (x) = v

Y1 (x) = J

1 (x) =

cos x ;

sin x ;

(78)

а соответствующие функции Ханкеля (39), (40) принимают вид

H(2)1 (x) = iv

H(1)1 (x) =

eix ;

e ix ;

H(1)1 (x) = v

H(2)1 (x) = v

eix ;

e ix :

(79)

u x

Повторяя указанные вычисления для функций Бесселя мнимого аргумента,

обнаруживаем, что для получения	I	1	(x)	è	I	1	(x)	достаточно заменить три-
	I	2	(x)		I	2	(x)

гонометрические функции на гиперболические в формулах (76), (77):

(x) = v

sinh x ;

I 1

(x) = v

cosh x :

(80)

Наконец, согласно определению (44) получим функции Макдональда:


K2	= K 2	= s			:
K2	= K 2	= s	2x e		:
1	1			x		(81)
1	1					(81)

Второе дифференциальное соотношение в (59) при =12 позволяют явно пред- ставить функции Бесселя первого рода полуцелого индекса с помощью n-

кратной производной от элементарной функции

Jn+1

(x) = (

1)nv

xn+21

x 1

n sin x

(82)

Для аналогичного представления функции In+1 (x) следует sin x заменить на

sinh x и исключить множитель ( 1)n. Формула

n 0

e x

xn+21 x 1

Kn+1 (x) = (

1)n

(83)

@ x A

позволяет представить функции Макдональда полуцелого индекса.

(i) Поведение функций Бесселя индекса 21

â íóëå

При x = 0 в нуль обращаются три из перечисленных функции Бесселя:

(84)

J2 (0) = 0 ;

Y 2 (0) = 0 ; I

2 (0) = 0 ;

остальные принимают неограниченные значения.

(ii) Асимптотическое поведение функций Бесселя индекса 12

Ïðè	x	! 1	только две функции	I	1	(x)	è	I	1	(x)	неограниченно возраста-
					2				2

ют, остальные асимптотически стремятся к нулю. Поскольку для функций Бесселя полуцелого индекса справедливо соотношение, аналогичное (67), то при x ! 1 в нуль асимптотически обращаются функции Бесселя первого,

второго, третьего рода и функции Макдональда с произвольным полуцелым индексом n+12.

(iii) О корнях функций Бесселя индекса 12

(1)	(2)
Функции Бесселя третьего рода H 21	(x), H 21	(x) и функции мнимого аргу-

мента I 12 (x), K 12 (x) не обращаются в нуль на положительной части действительной оси x > 0. В этой области корни имеются только у функций

Бесселя первого и второго рода:

J2	( k)=0 ;	Y 2	( k)=0 ;	J 2		+ k! =0 ;	Y2		+ k! =0 :	(85)
					2			2
1		1		1			1

Таким образом, на интервале x > 0 функции Бесселя J 12 (x) è Y 12 (x) являются квазипериодическими с бесконечным числом эквидистантно распреде-

ленных нулей и бесконечным числом экстремумов. В частности, максимумы

функций Бесселя первого рода как функции порядкового номера корня k

описываются формулами

J2		+2 k! =	2	; J 2 (2 k) =	1	;
J2	2	+2 k! =	p4k+1	; J 2 (2 k) =	pk	;	(86)
1				1			(86)

откуда следует, что высота этих максимумов уменьшается с увеличением порядкового номера экстремума.

2.2. Представление функций Бесселя целого индекса с помощью производящей функции

Функция <(x; t) называется производящей функцией для функций Бес-

селя первого рода целого индекса n, если Jn(x) являются коэффициентами разложения функции <(x; t) по степеням t:

1		1	: (87)
<(x; t) = n=		Jn(x) tn = J0(x) + n=1 Jn(x) htn + ( 1)nt ni	: (87)
X		X
	1

Найти производящую функцию в явном виде помогают следующие рассуждения. Подставим разложение (25) в формулу (87)

(x; t) =

(

1)m

2m+n

(88)

X X

m=0

m!(m + n)!

и сделаем замену индекса суммирования k=m+n. Тогда двойная сумма в

(88) представляется произведением двух сумм, каждая из которых задает экспоненту:

		2		xt	k	3				x	m
			1	2			1		1)m
	(x; t) =							(		2t			= e 2	e		:	(89)
										2t					2t
<							2m=0					3
<			=0 k!				2m=0			m!		3
		6kX				7	X					5	xt		x
		4				5	4					5

В результате получаем хорошо известную производящую функцию для функций Бесселя первого рода

<	(x; t) = exp	"	x	t		1	!#	:	(90)

		2			t

Как частный случай при t = ei' из (87) и (90) получается формула разложе-

íèÿ	1
eix sin ' =	1		Jn(x) ein' ;	(91)
	n X
	=	1
	=

которая широко используется в физических приложениях, например, в теории магнитоактивной плазмы.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015119.71 Кб194 Термин.docx
#
23.03.2015347.14 Кб561724.pdf
#
30.04.20158.19 Mб4637732.rtf
#
23.03.201545.84 Кб66attestatsia_1_rubezh_obschy_ukhod.docx
#
23.03.20151.87 Mб36bajrakov_2012_10_18.doc
#
23.03.2015285.35 Кб19Bessel functions.pdf
#
22.03.201563.49 Кб11F1.doc
#
30.04.201521.3 Mб148Gos.Doklad.PROEKT.doc
#
23.03.2015334.6 Кб41isprav_Fizika_ekz_otvety.docx
#
23.03.2015282.78 Кб120KRANIE_Bakhmadov_testy_ekzamen_UPP_ispravleny.docx
#
23.03.2015376.31 Кб41Kuran_40_hadis.pdf