Bessel functions

Краткое предисловие

Теория функций Бесселя вправе называться жемчужиной альных функций, которая является ключевым элементом курса математи-

ческой физики. В ставших классическими монографиях Г.Н. Ватсона [1], Г.Бейтмена и А.Эрдейи [2], Н.Н.Лебедева [3], А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [4], Н.С.Кошлякова, Э.Б.Глинера и М.М.Смирнова [5] читатель найдет исчерпывающую информацию о функциях Бесселя, их свойствах и приложениях. Основываясь на собственном опыте преподавания математической физики студентам физического факультета КГУ, автор предлагает вниманию студентов и аспирантов свою версию изложения лекций по теории функций Бесселя, которые, с одной стороны, не отягощены излишней детализацией свойств этих функций, но с другой стороны содержат все самые важные и принципиальные моменты, необходимые в дальнейшем для изучения различных аспектов

теоретической физики.

3

ЛЕКЦИЯ I.

Цилиндрические функции как фундаментальные решения дифференциального уравнения Бесселя

1.1. Дифференциальные уравнения, определяющие функции Бесселя

В математической физике широко известны дифференциальное уравнение, названное в честь немецкого астронома, геодезиста и математика Фридриха Вильгельма Бесселя (Bessel) (1784-1846)

и модифицированная версия этого уравнения

При замене независимой переменной x на x структура этих уравнений оста-

ется неизменной, поэтому в дальнейшем будем полагать, что искомая функция y(x) определена на положительной части действительной оси. Поскольку

коэффициент при старшей производной обращается в нуль при x = 0, эта

точка рассматривается как особая для данных дифференциальных уравнений [6], а значения функции y(x) в нуле исследуются специально для каждого

из полученных решений уравнения Бесселя. Широко известны также самосопряженная форма записи уравнения (1)

которое получается из (1) указанной заменой функции y(x) на Y (x).

Уравнение Бесселя (1) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка в обыкновенных производных, общее решение которого есть линейная комбинация

4

двух фундаментальных решений Z(1)(x) è Z(2)(x) с произвольными постоянными C1 è C2 [6]. Функции Z(1)(x) è Z(2)(x) относятся к классу цилиндриче- ских функций, самыми известными среди которых являются функции Бесселя (Bessel), Вебера-Шлефли (Weber, Schla i), Ханкеля (Hankel), Макдональда (MacDonald), Кельвина (Kelvin), Неймана (Neumann), Ангера (Anger), Бурже (Bourget), Джулиани (Giuliani), Струве (Struve), Ломмеля (Lommel) [1,2]. Параметр , появляющийся в уравнении Бесселя, наследуется в обозна-

чениях и называется индексом цилиндрических функций. Если Z (x) удовлетворяет уравнению Бесселя, то Z (x) также является его решением, поскольку исходные уравнения содержат 2. В силу того, что фундаментальные решения Z(1)(x) è Z(2)(x) по определению функционально независимы, детерминант Вронского (Wronski)

отличен от нуля во всей области определения этих функций. Опираясь на известную из теории дифференциальных уравнений формулу Лиувилля [6], детерминант Вронского для цилиндрических функций можно представить в

верить этот результат, необходимо убедиться в том, что производная от детерминанта Вронского, домноженного на x, равна нулю:

Для этого достаточно выразить вторые производные от функций Z(1) è Z(2) через первые производные и сами функции с помощью уравнения (1).

1.2. Представление цилиндрических функций с помощью обобщенных степенных рядов

1.2.1. Функции Бесселя первого рода

Представим частное решение уравнения (1) в виде ряда

1

y(x) = x X amxm : (9)

m=0

5

Множитель x с неизвестным пока значением параметра определяет пове-

дение данного решения в окрестности особой точки x = 0. Разложение (9)

удовлетворяет уравнению Бесселя, если для любого x из области определения

справедливо соотношение

В силу функциональной независимости степенных функций с различными показателями равенство (10) оказывается справедливым, если коэффициенты разложения am связаны рекуррентными соотношениями

и (12) совпадают, поэтому при исследовании однородных уравнений (11)-(13) естественно выделить следующие три случая.

(i) a0 6= 0, 6= 12 .

В этом случае из (11) следует, что = , соотношение (12) принимает вид a1(2 + 1) = 0, откуда получаем, что a1 = 0. Тогда в силу (13) все коэффициенты с нечетными номерами обращаются в нуль, a2m+1 = 0, и искомое разложение принимает вид

(ii) a1 6= 0, 6= 12 .

В этом случае из (12) следует, что = 1 , соотношение (11) принимает вид a0(2 +1)=0 и, следовательно, a0 = 0, a2m = 0, и искомое разложение превращается в

6

дущие логические рассуждения несправедливы. Анализ выделенного случая2 = 14 удобно упростить, обратившись к уравнению (4). Очевидно, что общее решение уравнения Бесселя (1) выражается в этом случае через элементар-

подробный анализ этого случая мы провед¼м в разделе 2.1.3.

Вернемся к рекуррентным соотношениям (13), выберем для определенности положительное значение =+ и будем считать равным нулю коэффи-

циент a1. Тогда все коэффициенты с четными номерами выражаются через

Для того, чтобы обосновать выбор свободного параметра a0, вспомним опре- деление и некоторые свойства гамма-функции ( ).

СПРАВКА О ГАММА ФУНКЦИЯХ

Гамма-функция Эйлера (Euler) определена несобственным интегралом

который сходится при > 0 (здесь и ниже аргумент гамма-функции рассмат-

ривается как действительная величина). Из первого замечательного свойства этой функции [2,3]

следует, что при целом значении = m гамма-функция выражается через факториал

При m = 0 получаем, в частности, что (1) = 1. Прямым вычислением ин-

p

теграла (18) находим также, что 12 = . Второе замечательное свойство

7

гамма-функции

( ) (1 ) = sin (21) позволяет, в частности, заметить, что (1) (0)=sin , èëè (0)=1. Тогда из

В результате таких построений мы получили представление функции Бесселя первого рода индекса

Формальная замена на дает функцию Бесселя первого рода отрица-

тельного индекса

Функции J (x) и J (x) относятся к классу цилиндрических функций, поскольку согласно принципу их построения удовлетворяют уравнению Бесселя.

Функциональные ряды, представляющие функции Бесселя (25) и (26), абсолютно и равномерно сходятся на положительной части действительной оси. Чтобы доказать этот факт, используем признак Даламбера (D'Alembert) и вычислим предел модуля отношения величины последующего слагаемого в сумме (25) к величине предыдущего:

8

Этот предел равен нулю, то есть, он меньше единицы для любого ограниченного значения x, что и доказывает равномерную сходимость ряда.

Для того, чтобы ответить на вопрос: могут ли функции J (x) и J (x) быть выбраны в качестве фундаментальной системы решений уравнения Бесселя, необходимо проверить обращается ли в нуль определитель Вронского. Эта задача согласно соотношению (7) сводится к вычислению константы C по следующему известному рецепту:

Поскольку при малых значениях аргумента достаточно ограничиться первыми слагаемыми в разложениях (25) и (26)

данная константа легко находится прямым вычислением

Таким образом, определитель Вронского W[J ; J ] обращается в нуль, если sin = 0, то есть, индекс функции Бесселя является целым числом = n. Установить этот факт можно и иначе. Рассмотрим функцию Бесселя целого отрицательного индекса J n(x). В силу свойства (22) гамма-функции с отрицательным аргументом принимают бесконечно большие значения, обращая в нуль соответствующие слагаемые в разложении (26). Это означает, что суммирование в данном ряде реально начинается со значения m = n:

Вводя новый индекс суммирования l = m n, перепишем данную формулу

Функции Бесселя Jn(x) è J n(x) целого индекса линейно зависимы.

9

1.2.2. Функции Бесселя второго рода - функции Вебера-Шлефли

Функции Бесселя целого индекса Jn è J n линейно зависимы и потому не образуют фундаментальной системы решений уравнения Бесселя с 2 = n2. Для того, чтобы обойти эту проблему, были введены так называемые

Y (x) как линейные комбинации следующего

Очевидно, что в силу линейности уравнения Бесселя функция Y (x), как линейная комбинация решений, также является его решением. Эти функции принято называть именами Вебера и Шлефли. Термин функции Неймана, введенный для этих функций, например, в учебнике [4], по-видимому, недостаточно обоснован с исторической точки зрения [1,5]. Детерминант Вронского, подсчитанный для пары функций J (x) и Y (x):

не обращается в нуль ни при каких значениях индексов. Поэтому общее решение уравнения Бесселя (1) для любого значения индекса стандартно представляется в виде

Для того, чтобы явно представить разложение функций Yn(x), обычно поль-

Здесь и далее штрих символизирует производную от указанной функции по е¼ аргументу. Вывод этой формулы не входит в обязательную часть нашей

10