Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
38
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
219.14 Кб
Скачать

§ 7. Сравнение функций.

п. 1. О – символика.

Определение 1. Если для двух функций f и g существуют такие постоянные C > 0 и > 0, что |f(x)|  C|g(x)| при 0 < |xx0| < , то говорят, что функция f является ограниченной по сравнению с функцией g в некоторой проколотой окрестности точки x0 и пишут f(x) = O при xx0.

Символ xx0 указывает здесь только на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности , а не о пределе. Естественным образом это определение переносится на случаи x   ().

Вставка 1.

Определение 2. Если f(x) = O и g(x) = Oпри x x0, то f и g называются функциями одного порядка при xx0.

Вставка 2.

Теорема 1. Если , то они одного порядка при xx0.

Доказательство. В самом деле, условие эквивалентно условиям

и , где . Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки x0. Отсюда следует, что в указанной окрестности выполняются неравенства и , т.е. f (x) = O и g(x) = Oпри xx0.

Вставка 3.

Определение 3. Если (х) = (х)f(x), где , то говорят, что  является б/ м функцией по сравнению с функцией f при xx0, и пишут (х) = о (xx0).

Если f(x)  0 в некоторой , то данное определение можно переписать в виде соотношения . Таким образом, функция опри xx0 (f(x)  0) может быть определена с помощью соотношения .

В случае, если функция f является б/ м при xx0, то говорят, что функция (х) = о (xx0) является б/ м более высокого порядка, чем функция f при xx0.

Вставка 4.

Отметим, что если при xx0, то при xx0. В самом деле, пусть , где . Поскольку функция ограничена в некоторой (| (x)|  c), то |f(x)|  c |g(x)| в этой , что и означает, что (xx0).

п. 2. Эквивалентные функции.

Определение 4. Две функции f и g называются эквивалентными при xx0, если в некоторой определена функция такая, что

f(x) = (х)g(x), где . (1)

В этом случае будем писать f(x)  g(x) при xx0 (или xx0).

Вставка 5.

Отметим некоторые эквивалентные функции, которые следуют из предыдущего параграфа: при x  0 верно:

sin xx, tg xx, arcsin xx, arctg xx, 1 - cosx, ax – 1  xlna (a > 0), ln(1 + x)  x , .

Теорема 2. Для того, чтобы функции f и g были эквивалентными при xx0, необходимо и достаточно, чтобы при xx0 выполнялось хотя бы одно из условий

f(x) = g(x) + o или g(x) = f(x) + o.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть f(x)  g(x) при xx0, т.е. f(x) = (х)g(x), где . Тогда f(x) = g(x) + [(х) – 1]g(x) = g(x) + (x)g(x), причем (x) = (х) – 1 0 при xx0.

2. Достаточность. Пусть, например, при xx0 имеет место соотношение f(x) = g(x) + o, т.е. f(x) = g(x) + (x)g(x), где . Тогда f(x) = (1 + (x))g(x) = (х)g(x), где , т.е. f(x)  g(x) при xx0.

Вставка 6.

п. 3. Метод выделения главной части.

Определение 5. Пусть и - две функции, определенные в некоторой . Если при xx0 (х) = (х) + о, то функция называется главной частью функции .

Аналогичным образом вводятся понятия главной части для случаев: xx0 -, xx0 +, x  , x  +, x  - .

Из теоремы 2 следует, что если f(x)  g(x) при xx0, то g - главная часть функции f, f - главная часть функции g при xx0.

Вставка 7.

Вопросы и упражнения.

  1. Что означает запись: f(x) = O(1) при xx0?

  2. Пусть при xx0. Следует ли отсюда, что f(x) = g(x)?

  3. Показать, что + = при xx0.

  4. Что означает запись: (х) = о(1) при xx0?

  5. Пусть 1(х) = о(), 2(х) = о() при xx0. Следует ли отсюда, что 1(х) = 2(х)?

  6. Доказать следующие свойства «о – малого» при xx0:

а) о()  о() = о(); б) о(с) = о() с  0; в) n N;

г) n о() = о(n+1) nN; д) n N, n  2; е) ;

ж)  = о() и  = о(); з) - = о() и - = о();

и) o(c1 + c22 + ...+ cnn) = о().

7) Доказать, что если (х)  1(х), (х)  1(х) при xx0, то либо

, либо оба предела не существуют.

8) Вычислить пределы: а) , б) , в) .

9) Сравнить пары б/ м функций: а) и (х) = х при х  0;

б) и (х) = (х – 1)2 при х  1;

в) и при х  .

10) Записать асимптотические формулы для функций: а) ln(1 + x + sin x) при х  0;

б) cos lnx при х  1.

§ 8. Предел функции по базе.

Во всех определениях предела функции f в точке х0 (по Коши) требуется, чтобы  > 0  = () > 0  , где . При этом множества имеют разный вид при различных х0 (х0 – конечная или бесконечная точка). Если рассматривать еще односторонние пределы, то вместо окрестности нужно брать только ее часть.

Таким образом, если условимся в едином обозначении, как проколотой окрестности, так и ее части (левой или правой полуокрестности) конечной или бесконечной точки, то можно сформулировать единое определение предела функции в точке.

Пусть есть или , или полуокрестность окрестности , где х0 – конечная или бесконечная точка, и пусть . Ясно, что для возможности дать определение предела функции в точке х0 нужно предполагать, что и пересечение двух любых множеств совокупности {} представляет собой некоторое множество той же совокупности.

Определение 1. Будем говорить, что бесконечная совокупность В ={} подмножеств множества Df образует базу или базис фильтра множества Df, если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый ; 2) в пересечение двух любых множеств совокупности {} обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности.

Ясно, что база множества Df представляет собой более широкое понятие, чем множества, участвующие в определении предела ранее, т.к. не обязательно и пересечение двух любых множеств и лишь содержит в себе (а не совпадает) третье множество . Однако ранее рассматриваемые множества , точнее, их совокупность, представляет собой базу множества Df, которые обозначали символами хх0, хх0-, хх0+, где х0 – конечная или бесконечная точка. Если Df = N, то например, есть база множества {n}, которую обозначали символом n   и которая участвует в определении предела последовательности.

Пусть f задана на Df и В ={} – база множества Df.

Определение 2. Число а называется пределом функции f по базе В множества ее задания Df, если  > 0 B: f()  O(a).

Этот факт символически записывается так: .

Легко проверить, что определение предела функции по базе содержит в себе как частные случаи все виды пределов, рассмотренных ранее. Также легко убедиться, что для определения предела функции по базе остаются верными все основные свойства предела, отвечающие, например, базе х  х0. Например,

Критерий Коши. Для существования предела функции f по базе В, необходимо и достаточно, чтобы  > 0 B, образ которого f() содержится в некотором интервале длины 2.

Определение 3. Базы В и множества Df называются эквивалентными, если : и : . Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества Df называется фильтром множества Df.

Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В и справедливы одновременно.

Определение предела функции по фильтру было дано А. Картаном в 1937 году.

Вопросы и упражнения.

  1. Из каких элементов состоят базы: а) х х0, б) х  ?

  2. Докажите, что для определения предела по базе верны теоремы о пределе суммы, произведения, частного двух функций.

43