Математический анализ - лекции / 3. Предел функции. Сравнение функций / Сравнение функций

§ 7. Сравнение функций.

п. 1. О – символика.

Определение 1. Если для двух функций f и g существуют такие постоянные C > 0 и  > 0, что |f(x)|  C|g(x)| при 0 < |x – x₀| < , то говорят, что функция f является ограниченной по сравнению с функцией g в некоторой проколотой окрестности точки x₀ и пишут f(x) = O при x  x₀.

Символ x  x₀ указывает здесь только на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности , а не о пределе. Естественным образом это определение переносится на случаи x   ().

Вставка 1.

Определение 2. Если f(x) = O и g(x) = Oпри x  x₀, то f и g называются функциями одного порядка при x  x₀.

Вставка 2.

Теорема 1. Если , то они одного порядка при x  x₀.

Доказательство. В самом деле, условие эквивалентно условиям

и , где . Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки x₀. Отсюда следует, что в указанной окрестности выполняются неравенства и , т.е. f (x) = O и g(x) = Oпри x  x₀.

Вставка 3.

Определение 3. Если (х) = (х)f(x), где , то говорят, что  является б/ м функцией по сравнению с функцией f при x  x₀, и пишут (х) = о (x  x₀).

Если f(x)  0 в некоторой , то данное определение можно переписать в виде соотношения . Таким образом, функция опри x  x₀ (f(x)  0) может быть определена с помощью соотношения .

В случае, если функция f является б/ м при x  x₀, то говорят, что функция (х) = о (x  x₀) является б/ м более высокого порядка, чем функция f при x  x₀.

Вставка 4.

Отметим, что если при x  x₀, то при x  x₀. В самом деле, пусть , где . Поскольку функция  ограничена в некоторой (| (x)|  c), то |f(x)|  c |g(x)| в этой , что и означает, что (x  x₀).

п. 2. Эквивалентные функции.

Определение 4. Две функции f и g называются эквивалентными при x  x₀, если в некоторой определена функция  такая, что

f(x) = (х)g(x), где . (1)

В этом случае будем писать f(x)  g(x) при x  x₀ (или x  x₀).

Вставка 5.

Отметим некоторые эквивалентные функции, которые следуют из предыдущего параграфа: при x  0 верно:

sin x  x, tg x  x, arcsin x  x, arctg x  x, 1 - cos^x  , a^x – 1  xlna (a > 0), ln(1 + x)  x , .

Теорема 2. Для того, чтобы функции f и g были эквивалентными при x  x₀, необходимо и достаточно, чтобы при x  x₀ выполнялось хотя бы одно из условий

f(x) = g(x) + o или g(x) = f(x) + o.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть f(x)  g(x) при x  x₀, т.е. f(x) = (х)g(x), где . Тогда f(x) = g(x) + [(х) – 1]g(x) = g(x) + (x)g(x), причем (x) = (х) – 1 0 при x  x₀.

2. Достаточность. Пусть, например, при x  x₀ имеет место соотношение f(x) = g(x) + o, т.е. f(x) = g(x) + (x)g(x), где . Тогда f(x) = (1 + (x))g(x) = (х)g(x), где , т.е. f(x)  g(x) при x  x₀.

Вставка 6.

п. 3. Метод выделения главной части.

Определение 5. Пусть  и  - две функции, определенные в некоторой . Если при x  x₀ (х) = (х) + о, то функция  называется главной частью функции .

Аналогичным образом вводятся понятия главной части для случаев: x  x₀ -, x  x₀ +, x  , x  +, x  - .

Из теоремы 2 следует, что если f(x)  g(x) при x  x₀, то g - главная часть функции f, f - главная часть функции g при x  x₀.

Вставка 7.

Вопросы и упражнения.

1. Что означает запись: f(x) = O(1) при x  x₀?

2. Пусть при x  x₀. Следует ли отсюда, что f(x) = g(x)?

3. Показать, что + = при x  x₀.

4. Что означает запись: (х) = о(1) при x  x₀?

5. Пусть ₁(х) = о(), ₂(х) = о() при x  x₀. Следует ли отсюда, что ₁(х) = ₂(х)?

6. Доказать следующие свойства «о – малого» при x  x₀:

а) о()  о() = о(); б) о(с) = о() с  0; в) n  N;

г) ⁿ о() = о(ⁿ⁺¹) n  N; д) n  N, n  2; е) ;

ж)  = о() и  = о(); з)      -  = о() и  -  = о();

и) o(c₁ + c₂² + ...+ c_nⁿ) = о().

7) Доказать, что если (х)  ₁(х), (х)  ₁(х) при x  x₀, то либо

, либо оба предела не существуют.

8) Вычислить пределы: а) , б) , в) .

9) Сравнить пары б/ м функций: а) и (х) = х при х  0;

б) и (х) = (х – 1)² при х  1;

в) и при х  .

10) Записать асимптотические формулы для функций: а) ln(1 + x + sin x) при х  0;

б) cos lnx при х  1.

§ 8. Предел функции по базе.

Во всех определениях предела функции f в точке х₀ (по Коши) требуется, чтобы  > 0  = () > 0  , где . При этом множества имеют разный вид при различных х₀ (х₀ – конечная или бесконечная точка). Если рассматривать еще односторонние пределы, то вместо окрестности нужно брать только ее часть.

Таким образом, если условимся в едином обозначении, как проколотой окрестности, так и ее части (левой или правой полуокрестности) конечной или бесконечной точки, то можно сформулировать единое определение предела функции в точке.

Пусть есть или , или полуокрестность окрестности , где х₀ – конечная или бесконечная точка, и пусть . Ясно, что для возможности дать определение предела функции в точке х₀ нужно предполагать, что и пересечение двух любых множеств совокупности {} представляет собой некоторое множество той же совокупности.

Определение 1. Будем говорить, что бесконечная совокупность В ={} подмножеств множества D_f образует базу или базис фильтра множества D_f, если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый ; 2) в пересечение двух любых множеств совокупности {} обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности.

Ясно, что база множества D_f представляет собой более широкое понятие, чем множества, участвующие в определении предела ранее, т.к. не обязательно и пересечение двух любых множеств и лишь содержит в себе (а не совпадает) третье множество . Однако ранее рассматриваемые множества , точнее, их совокупность, представляет собой базу множества D_f, которые обозначали символами х  х₀, х  х₀-, х  х₀+, где х₀ – конечная или бесконечная точка. Если D_f = N, то например, есть база множества {n}, которую обозначали символом n   и которая участвует в определении предела последовательности.

Пусть f задана на D_f и В ={} – база множества D_f.

Определение 2. Число а называется пределом функции f по базе В множества ее задания D_f, если  > 0  B: f()  O_(a).

Этот факт символически записывается так: .

Легко проверить, что определение предела функции по базе содержит в себе как частные случаи все виды пределов, рассмотренных ранее. Также легко убедиться, что для определения предела функции по базе остаются верными все основные свойства предела, отвечающие, например, базе х  х₀. Например,

Критерий Коши. Для существования предела функции f по базе В, необходимо и достаточно, чтобы  > 0  B, образ которого f() содержится в некотором интервале длины 2.

Определение 3. Базы В и множества D_f называются эквивалентными, если : и : . Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества D_f называется фильтром множества D_f.

Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В и справедливы одновременно.

Определение предела функции по фильтру было дано А. Картаном в 1937 году.

Вопросы и упражнения.

1. Из каких элементов состоят базы: а) х  х₀, б) х  ?

2. Докажите, что для определения предела по базе верны теоремы о пределе суммы, произведения, частного двух функций.

43