37
5.Дифференциальные уравнения
5.1.Основные понятия и определения
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравне-
ние, связывающее независимую переменную x , искомую функцию |
и ее производные |
y , y , y ,..., y(n) : |
|
F(x, y, y , y ,..., y(n) ) 0 . |
(5.1) |
Если из уравнения (5.1) можно выразить y (n) , то уравнение можно записать в явном |
|
виде: |
|
y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ) . |
(5.2) |
Про уравнение (5.2) говорят, что оно разрешено относительно n -й производной. Определение. Порядком уравнения называется порядок старшей производной, вхо-
дящей в это уравнение.
Определение. Решением уравнения (5.1) называется такая функция (x) , которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество.
Определение. Если (x) - решение дифференциального уравнения, то кривая y (x) называется интегральной кривой этого уравнения.
Пример. y 2x 3 . Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешен-
ное относительно производной. Его решение есть функция y x2 3x C . Это легко проверяется подстановкой функции в уравнение. Интегральной кривой является кривая y x2 3x C . При разных значениях C получаем разные интегральные кривые.
Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называет-
ся уравнение, связывающее искомую функцию нескольких переменных |
, ее |
||||||||
частные производные и независимые переменные |
. |
|
|||||||
Порядком уравнения называется порядок старшей частной производной, входящей в |
|||||||||
это уравнение. |
|
|
|
|
|||||
Примеры |
|
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
- уравнение в частных производных первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
|
|
|
|
|
- уравнение в ч.п. второго порядка◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.2.Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины
Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка:
F(x, y, y ) 0 . |
(5.3) |
Общее решение дифференциального уравнения (5.3) имеет вид |
|
y (x,C) , |
(5.4) |
где C - произвольная постоянная.
Если в (5.4) вместо произвольной константы C подставить определенное значение
C0 , то получим частное решение уравнения: |
|
y (x,C0 ) . |
(5.5) |
38
Не всегда решение можно записать в явном виде (5.4). Часто получаем решение, записанное следующим образом:
(x, y,C) 0 , |
(5.6) |
которое не разрешено относительно y . Разрешив его относительно y , если это возможно,
получим общее решение (5.4).
Равенство (5.6), задающее общее решение неявно, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Если придать C определенное значение C0 , то получим равенство |
|
(x, y,C0 ) 0 , |
(5.7) |
которое называют частным интегралом.
С геометрической точки зрения общий интеграл (5.6) или общее решение (5.4) представляют собой семейство кривых, зависящих от параметра C . Частному интегралу (5.7) или частному решению (5.5) соответствует одна кривая семейства при C C0 .
Пример. Уравнение |
|
имеет общее решение |
|
. Частным решением |
|
|
|
||||
является, например, |
|
(при |
)◄ |
|
|
|
|
|
|||
Изоклины. Рассмотрим уравнение |
|
|
|||
|
|
|
|
(5.8) |
|
Пусть M0 (x0 , y0 ) - произвольная точка. Пусть y y(x) - решение этого уравнения. Тогда из уравнения (5.8) получаем, что y (x0 ) f (x0 , y0 ) . Из геометрического смысла производной известно, что y (x0 ) tg , где - угол наклона касательной к кривой y y(x) (интегральной кривой) в точке x0 к оси Ox . Следовательно, tg f (x0 , y0 ) . То есть с
помощью правой части уравнения (5.4) можно найти угол наклона касательной к интегральной кривой в любой точке, где существует касательная. Чтобы обозначить направления касательных, построим в каждой точке отрезок, расположенный под соответствующим углом к оси Ox . Получим так называемое поле направлений. Таким образом, уравнение (5.4) задает поле направлений на плоскости xOy .
Определение. Кривая, в каждой точке которой направление поля одно и то же, называется изоклиной уравнения.
Изоклина определяется уравнением
f (x, y) k, |
(5.9) |
где k const .
Геометрически задача нахождения решения дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направле-
нием поля в соответствующих точках. |
|
|
||
Пример. |
y x / y . |
|
|
|
►Из уравнения находим |
. Изоклины задаются уравне- |
y |
y x |
|
|
|
|
|
|
нием (5.9): |
или |
, где y 0 (рис. 1). |
|
|
Рассмотрим изоклину при |
: y x . В каждой точке этой изо- |
|
x |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
клины направление поля одинаковое. Найдем его. Возьмем любую точку, |
|
|
принадлежащую данной изоклине, например, |
. В этой точке с по- |
|
мощью дифференциального уравнения находим |
. |
Рис. 1 |
|
||