Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.

Замечание: Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференциалов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, в него входящей.

Если дифференциальное уравнение зависит только от одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

. (1.1)

Если уравнение (1.1) разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:

y' (x) = f(x, y(x)). (1.2)

Решением уравнения (1.2) является дифференцируемая функция y(x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Производную y'(x) в каждой точке (x, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угланаклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.

k = tg = f (x, y).

Уравнение (1.2) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

y () = , (1.3)

где – начальное значение аргумента x, а – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1.2) и начальному условию (1.3).

Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется решение этого уравнения, которое:

1. зависит от произвольной постоянной с;

2. для всякого начального условия (1.3) можно найти такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять данному начальному условию.

Решение называется частным решением уравнения (1.2), соответствующим начальным условиям (1.3).

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде:

(2.1)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

. (2.2)

Решением уравнения (2.2) является дифференцируемая функция y(x), которая при подстановке в уравнение (2.2) обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения (2.2) называется решение этого уравнения, которое:

1. является решением ДУ для фиксированных значений ;

2. при заданных начальных условиях

; (2.3)

можно найти такие значения постоянных и , что функция будет удовлетворять данным начальном условиям (2.3).

Решение называется частным решением уравнения (2.2), соответствующим начальным условиям (2.3).

Дифференциальные уравнения 1 порядка
Вид уравнения	Решение
Уравнение с разделяющимися переменными	; .
Однородное уравнение а) , где - однородная функция нулевого измерения относительно x и y; б) ; в) ; где и - однородные многочлены одной и той же степени.	Подстановка: , , , ; ; ; .
Линейное уравнение , где и - заданные непрерывные функции от x.	Подстановка: ; ; ; , 1) , , , : ; 2) , , , , , или:
Дифференциальные уравнения 2 порядка
ЛОДУ с постоянными коэффициентами	Характеристическое уравнение: а) : ; б) : ; в) : .