2.2. Обчислення похибок при непрямих вимірюваннях.

Нехай для визначення величини А використовується відома функціональна залежність її від інших величин x₁, x₂, …, x_n:

Величини x₁, x₂, …, x_n можуть бути трьох типів:

1). Величини, що визначаються шляхом прямих вимірювань; їх значення подаються в стандартній формі (2.4):

і т. д.

2). Дані установки, відомі з попередніх (тарувальних) вимірювань; ці величини також повинні бути задані в формі (2.4), в іншому випадку вважають, що задане без вказівки похибки значення виміряне з точністю до половини одиниці останнього десяткового розряду.

3). Табличні величини і константи – їх бажано брати з таблиць з такою кількістю значущих цифр, щоб похибка округлення була на порядок менша похибки вимірювання величин першого і другого типу; в цьому випадку похибкою табличних величин і констант можна знехтувати.

Найкращим значенням величини A при непрямих вимірюваннях буде

(2.13)

де − середні значення величин, одержані з прямих вимірювань. Межу довірчого інтервалу похибки непрямого вимірювання знаходять за формулою:

(2.14)

де відповідають одному й тому ж значенню довірчої імовірності. Довірча імовірність результату буде не менше.

Середнє арифметичне значення величини і похибку результату вимірювання можна визначити двома способами. Для простоти міркувань припустимо, щоА – функція однієї змінної x :

(2.15)

В результаті вимірювань одержано ряд значень . Знайдемо, підставимо це значення в (2.15) і одержимо . Але можна для кожного зі значеньобчислити, а потім визначитиз співвідношення. Відповідно двома способами можна знайти і похибку величиниА: або визначити похибку величини x і скористатись співвідношенням або використати ряд значень:. Якщо похибки вимірювань малі порівняно з величиною, що вимірюється, то обидва способи дають досить близькі результати, тому неважливо, яким з них скористатися. Однак перший спосіб (тобто формули (2.13) і (2.14)) з точки зору розрахунків менш трудомісткий, тому йому й надамо перевагу.

Відносну похибку величини А обчислимо, скориставшись (2.14):

;

;

оскільки:

, то :

(2.16)

Оскільки в більшості випадків (2.16) значно простіше, ніж (2.14), то звичайно спочатку за формулою (2.16) обчислюють відносну похибку Е, а потім – межу довірчого інтервалу :

(2.17)

Для деяких найпростіших і в той же час найбільш поширених випадків формули розрахунку похибок наведено в додатку (таблиці 1 і 2).

Щоб швидко оцінити похибку методу (максимальну похибку), можна скористатись виразом:

(2.18)

Після приведення подібних всі доданки в (2.18) додають по модулю (найбільш несприятливий випадок). В якості беруть похибки приладів

На закінчення перелічимо основні кроки, які слід виконувати при обробці результатів вимірювань.

Для прямих вимірювань.

1. Результати кожного вимірювання записати в таблицю.

2. Обчислити середнє арифметичне з вимірювань:

.

3. Обчислити середньоквадратичну похибку:

.

4. Якщо серед результатів вимірювань є один (або два), що значно відрізняється від інших, то слід перевірити, чи не є це вимірювання промахом.

5. Задати значення довірчої імовірності і за табл. 3 визначити коефіцієнт Стьюдента.

6. Обчислити випадкову похибку вимірювань і порівняти її з систематичною.

Якщо ці похибки сумірні за значенням, то похибка вимірювання величини дорівнює:

,

де коефіцієнт Стьюдента для

7. Записати результат вимірювань у вигляді:

8. Обчислити відносну похибку вимірювань: