4. Приближение Гюйгенса-Кирхгофа

Ранее было отмечено, что поле в любой точке пространства внешнего по отношению к объему V может быть однозначно определено по известным тангенциальным составляющим ина поверхности S. В качестве поверхности S в задачах дифракции удобно взять поверхность дифрагированного тела. Если на этой поверхности известны точные значения Е_и Н_, то используя принцип эквивалентности на поверхности S можно определить эквивалентные источники вторичного поля и далее, используя традиционный алгоритм, вычислить поле в заданной точке.

Но для точного вычисления Е_и Н_на поверхности S необходимо решить дифракционную задачу, т.е. круг замкнулся. Эта трудность может быть преодолена, если Е_и Н_на поверхности S вычислить используя приближенные методы. При этом полученные решения дифракционной задачи так же будут приближенные.

Рассмотрим два характерных примера:

1. Пусть на идеально проводящую поверхность S падает электромагнитная волна. Источник расположен в точке Q. В данной задаче предполагается, что размеры тела и минимальный радиус кривизны >>.

2.l >>R >>(1)

На поверхности S тангенциальная компонента равна 0. При условии(1)можно пренебречь затеканием поверхностных электрических токов на “теневую” часть поверхности S (часть поверхности тела, которая видна из точки расположения источника называемой "освещенной", остальная часть называется "теневой")..

При этом на "освещенной" части поверхности S в каждой точке плотность поверхностного тока будет такая же, какой она была бы при том же источнике на идеально проводящей плоскости, касательной к поверхности S в данной точке.

Эти предположения являются приближенными.

Определим величину тока конкретно в точке N. Для этого проведем касательную. В точке N, как в начале координат, построим декартову систему. совпадает с осью Z. Определим величину поверхностных токов, возбуждаемых на идеально проводящей касательной плоскости при той же системе источников., где

Первичное поле (поле падающей волны) предполагается известным и в частностиравно магнитному полю, возбуждаемому в точке N в отсутствие идеально проводящей плоскости.

Вторичное поле возникает как результат протекания поверхностных токов. Таким образом, в точке N поверхностный ток

(2)

Очевидно. Под идеально проводящей плоскостью электромагнитное поле отсутствует. Это можно аргументировать тем, что поверхностные токи возбуждают в нижнем полупространстве магнитное поле, равное по величине магнитному полю источника и противоположно ему по знаку.

(3)

Кроме того, из метода зеркальных изображений известно, что в точках, симметричных относительно идеально проводящей плоскости, магнитное поле равно по величине и противоположно по знаку.

(4)

Таким образом в точке N: (5)

После получения (5)задача определения вторичного поля становится традиционной.

(6)

где R - расстояние от элемента поверхности dS до точки наблюдения.

(7)

(8)

Определение вторичного поля через векторный электрический потенциал не единственно возможный.

Можно: 1. Освещенную поверхность с найденным распределением поверхностного тока можно рассматривать как ЭЭИ. Тогда поле в заданной точке может быть найдено как суперпозиция полей, возбуждаемых отдельными ЭЭИ.

2.Рассмотрим дифракцию плоской волны на отверстии в идеально проводящей плоскости.

Уравнение плоской волны, падающей на этот экран

;;

Поверхность интегрирования расположим с тыльной стороны поверхности S. Она оказывается совпадающей с отверстием, а вне отверстия совпадает с теневой частью металлического экрана. При выполнении условия l >>можно пренебречь затеканием поверхностных токов на теневую часть плоскости. Кроме того, если размеры отверстия >>, то поле в отверстии можно считать совпадающим с полем падающей плоской волны при Z=0.

В дальнейшем задача сводится к следующему. Площадь отверстия разбиваем на элементарные площадки с известным распределением электромагнитного поля (элементы Гюйгенса). В этом случае поле за отверстием можно найти как суперпозицию полей, возбуждаемых отдельными элементами Гюйгенса.

Рассмотренные методы решения дифракционных задач называются приближением Гюйгенса-Кирхгофа. Метод является принципиально приближенным, тем не менее, он позволяет получить удовлетворительные результаты в максимуме интенсивности поля.

Приближение Гюйгенса-Кирхгофа называется методом физической оптики.