Организация параллельных вычислений при

1. Выбор параллельного способа вычислений. При использовании процессоров для умножения матрицына векторможет быть использован ранее уже рассмотренный в пособии параллельный алгоритм построчного умножения, при котором строки матрицы распределяются по процессорам построчно и каждый процессор реализует операцию умножения какой-либо отдельной строки матрицына вектор. Другой возможный способ организации параллельных вычислений может состоять в построенииконвейерной схемы для операции умножения строки матрицы на вектор (скалярного произведения векторов) путем расположения всех имеющихся процессоров в виде линейной последовательности (линейки).

Подобная схема вычислений может быть определена следующим образом. Представим множество процессоров в виде линейной последовательности (см. рис. 4.7):

;

каждый процессор ,, используется для умножения элементовстолбца матрицы иэлемента вектора. Выполнение вычислений на каждом процессоре,, состоит в следующем:

-       запрашивается очередной элемент столбца матрицы;

-       выполняется умножение элементов и;

-       запрашивается результат вычислений предшествующего процессора;

-       выполняется сложение значений ;

-       полученный результат пересылается следующему процессору.

Рис. 4.7. Состояние линейного конвейера для операции умножения строки матрицы на вектор после выполнения двух итераций

При инициализации описанной схемы необходимо выполнить ряд дополнительных действий:

-       при выполнении первой итерации каждый процессор дополнительно запрашивает элемент вектора ;

-       для синхронизации вычислений (при выполнении очередной итерации схемы запрашивается результат вычисления предшествую­щего процессора) на этапе инициализации процессор ,, выполняет () цикл ожидания.

Кроме того, для однородности описанной схемы для первого процессора , у которого нет предшествующего процессора, целесообразно ввести пустую операцию сложения ().

Для иллюстрации на рис. 4.7 показано состояние процесса вычислений после второй итерации конвейера при .

2. Оценка показателей эффективности алгоритма. Умножение первой строки на вектор в соответствии с описанной конвейерной схемой будет завершено после выполнения () параллельных операций. Результат умножения следующих строк будет происходить после завершения каждой очередной итерации конвейера (напомним, итерация каждого процессора включает выполнение операций умножения и сложения). Как результат, общее время выполнения операции умножения матрицы на вектор может быть выражено соотношением:

.

Данная оценка также является большей, чем минимально возможное время выполнения параллельного алгоритма при. Полезность использования конвейерной вычислительной схемы состоит, как отмечалось в предыдущем пункте, в уменьшении количества передаваемых данных и в более раннем появлении части результатов вычислений.

Показатели эффективности данной вычислительной схемы определяются соотношениями:

, ,

.

3. Выбор топологии вычислительной системы. Необходимая топология вычислительной системы для выполнения описанного алгоритма однозначно определяется предлагаемой вычислительной схемой – это линейно упорядоченное множество процессоров (линейка).