Достижение максимально возможного быстродействия ()

1. Выбор параллельного способа вычислений. Выполним анализ информационных зависимостей в алгоритме умножения матрицы на вектор для выбора возможных способов распараллеливания. Как можно заметить

-       выполняемые при проведении вычислений операции умножения отдельных строк матрицы на вектор являются независимыми и могут быть выполнены параллельно;

-       умножение каждой строки на вектор включает независимые операции поэлементного умножения и тоже могут быть выполнены параллельно;

-       суммирование получаемых произведений в каждой операции умножения строки матрицы на вектор могут быть выполнены по одному из ранее рассмотренных вариантов алгоритма суммирования (последовательный алгоритм, обычная и модифицированная каскадные схемы).

Таким образом, максимально необходимое количество процессоров определяется величиной

.

Использование такого количества процессоров может быть представлено следующим образом. Множество процессоров разбивается нагрупп

,

каждая из которых представляет набор процессоров для выполнения операции умножения отдельной строки матрицы на вектор. В начале вычислений на каждый процессор группы пересылаются элемент строки матрицы и соответствующий элемент вектора. Далее каждый процессор выполняет операцию умножения. Последующие затем вычисления выполняются по каскадной схеме суммирования. Для иллюстрации на рис. 4.5 приведена вычислительная схема для процессоров группыпри размерности матрицы.

Рис. 4.5. Вычислительная схема операции умножения строки матрицы на вектор

2. Оценка показателей эффективности алгоритма. Время выполнения параллельного алгоритма при использовании процессоров определяется временем выполнения параллельной операции умножения и временем выполнения каскадной схемы

.

Как результат, показатели эффективности алгоритма определяются следующими соотношениями:

, ,

.

3. Выбор топологии вычислительной системы. Для рассматриваемой задачи умножения матрицы на вектор наиболее подходящими топологиями являются структуры, в которых обеспечивается быстрая передача данных (пути единичной длины) в каскадной схеме суммирования (см. рис. 4.5). Таковыми топологиями являются структура с полной системой связей (полный граф) и гиперкуб. Другие топологии приводят к возрастанию коммуникационного времени из-за удлинения маршрутов передачи данных. Так, при линейном упорядочивании процессоров с системой связей только с ближайшими соседями слева и справа (линейка или кольцо) для каскадной схемы длина пути передачи каждой получаемой частичной суммы на итерации ,, является равной. Если принять, что передача данных по маршруту длиныв топологиях с линейной структурой требует выполненияопераций передачи данных, общее количество параллельных операций (суммарной длительности путей) передачи данных определяется величиной

(без учета передач данных для начальной загрузки процессоров).

Применение вычислительной системы с топологией в виде прямоугольной двумерной решетки размера приводит к простой и наглядной интерпретации выполняемых вычислений (структура сети соответствует структуре обрабатываемых данных). Для такой топологии строки матрицынаиболее целесообразно разместить по горизонталям решетки; в этом случае элементы векторадолжны быть разосланы по вертикалям вычислительной системы. Выполнение вычислений при таком размещении данных может осуществляться параллельно по строкам решетки; как результат, общее количество передач данных совпадает с результатами для линейки ().

Коммуникационные действия, выполняемые при решении поставленной задачи, состоят в передаче данных между парами процессоров МВС. Подробный анализ длительности реализации таких операций проведен в п. 3.3.

4. Рекомендации по реализации параллельного алгоритма. При реализации параллельного алгоритма целесообразно выделить начальный этап по загрузке используемых процессоров исходными данными. Наиболее просто такая инициализация обеспечивается при топологии вычислительной системы с топологией в виде полного графа (загрузка обеспечивается при помощи одной параллельной операции пересылки данных). При организации множества процессоров в виде гиперкуба может оказаться полезной двухуровневое управление процессом начальной загрузки, при которой центральный управляющий процессор обеспечивает рассылку строк матрицы и вектора к управляющим процессорам процессорных групп ,, которые, в свою очередь, рассылают элементы строк матрицы и вектора по исполнительным процессорам. Для топологий в виделинейки или кольца требуется последовательных операций передачи данных с последовательно убывающим объемом пересылаемых данных отдоэлементов.