ЛЕКЦИЯ 3 - 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1 Основные понятия теории систем управления
.pdf
Составим, как и в предыдущем примере, дифференциальное уравнение, которое описывает зависимость напряжения Uвых на выходе от времени и параметров схемы при подаче на вход сигнала Uвх, который описывается ступенчатой единичной функцией времени.
На основании второго закона Кирхгофа, определения тока конденсатора, напряжения на индуктивности, имеем уравнения и начальные условия:
L |
dI(t) |
|
I (t)R Uвых(t) |
Uвх(t), |
||
dt |
||||||
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
dUвых(t) |
|
||
I (t) C |
, |
Uвых(t0 ) Uвых( 0 ) 0, Uвх(t) (t t0 ) (t) |
||||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||
Эти соотношения приводят к уравнению второго порядка:
LC |
d 2Uвых(t) |
|
RC |
dUвых(t) |
Uвых(t) Uвх(t), , |
|||||||||
|
dt2 |
|
|
|
|
dt |
|
|||||||
Uвых( 0 ) 0, |
Uвх(t) (t |
t0 ) (t) |
||||||||||||
Введем следующие обозначения: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
C |
, |
|
|
Uвых(t), g(t) Uвх(t) (t) . |
||
T |
|
LC , |
x(t) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
L |
|
|
|
||||
(2.24)
(2.25)
(2.26)
В итоге получаем уравнение вида (2.22).
При ступенчатом единичном внешнем воздействии, в случае комплексных корней характеристического уравнения с отрицательной действительной частью, решением этого уравнения при нулевых начальных условиях будет функция (выходной сигнал), график которой приведен на рис. 1.11в. Мы видим, что выходной сигнал представляет затухающие колебания в окрестности нового состояния равновесия.