осн. киб лекц

Рис. 5.23 Частотные характеристики колебательного звена:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

– ФЧХ

Анализ амплитудно-частотной характеристики показывает, что при малых значениях частоты, когда ω 4 << ω 2, наблюдается некоторое увеличение АЧХ по сравнению с апериодическим звеном,

причем при больших значениях Tк на графике АЧХ появляется максимум. В пределе при Tд = 0 АЧХ

Tд

терпит разрыв второго рода при значении ωp = 1 .

Tк

Переходная функция в операторной форме:

Графики переходных функций изображены на рис. 5.24.

Примером колебательного звена могут служить упругая механическая система с существенным влиянием массы, центробежный маятник регулятора частоты вращения вала машины без демпфера и другие.

Рис. 5.24 Переходные характеристики колебательного звена:

а – переходная функция; б – весовая функция

представляют собой гармонические колебания (рис. 5.26). Частота ωp = T1 называется резонансной час-

тотой.

5.2.11 ОСОБЫЕ ЗВЕНЬЯ

Определение минимально-фазовых систем (звеньев) было дано ранее. Все рассмотренные звенья относятся к минимально-фазовым звеньям. Однако на практике встречаются и неминимально-фазовые звенья, у которых хотя бы один нуль или полюс передаточной функции имеет положительную вещественную часть. Примерами таких звеньев являются звено чистого запаздывания, а также звенья с передаточными функциями

Особенностью неминимально-фазовых звеньев по сравнению с минимально-фазовыми является то, что для звеньев, имеющих одинаковые АЧХ, у них отставание по фазе больше. Например, сравнивая

два звена – апериодическое первого порядка и звено с передаточной функцией W (s) = Tsk−1 , имеющих

АЧХ в обоих случаях

M (ω) = k ,

T 2ω2 +1

ноФЧХвпервомслучае ϕ(ω) = −arctgTω изменяетсяотнулядо− π2 , авовтором ϕ(ω) = −π + arctgTωиизменяется

от – до − π2 .

Неминимально-фазовые звенья встречаются в электрических схемах при дифференциальных или мостовых соединениях.

Частным случаем неминимально-фазовых звеньев являются неустойчивые звенья, когда только полюсы имеют положительную вещественную часть. Рассмотренное выше звено является неминимальнофазовым неустойчивым звеном, наиболее распространенным среди неустойчивых звеньев, и называется квазиинерционным звеном. Для неустойчивых звеньев не существует установившегося режима, и с течением времени при любом входном сигнале выходная величина стремится в бесконечность.

5.3Основные способы соединения звеньев

5.3.1СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ

При анализе и синтезе систем автоматического управления широко используется структурный анализ, основными понятиями которого служат следующие.

Структурная схема является графическим изображением дифференциального уравнения объекта и обладает главным достоинством любого графического представления – наглядностью.

Элементы структурной схемы называются звеньями, как уже известно, и изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена.

Взаимосвязь между звеньями изображается линиями связи со стрелками, указывающими направление передачи сигнала. Над линией ставится условное обозначение сигнала.

Точка на линии связи, в которой происходит разветвление линии, называется узлом. Алгебраическое сложение нескольких сигналов изображается в виде круга на линии связи и назы-

вается сумматором.

Для изображения основных элементов структурных схем используются условные обозначения, представленные на рис. 5.27.

Рис. 5.27 Условные обозначения элементов структурной схемы

Составление структурной схемы является одним из первых этапов исследования сложных объектов управления, она может быть составлена на основании математического описания, а также исходя из физической модели объекта.

Какой бы сложной ни была структурная схема, в ней всегда присутствуют только три типа соединений: параллельное, последовательное и с обратной связью. Задачей рассмотрения типов соединений является получение соотношения между передаточной функцией соединения и передаточными функциями отдельных звеньев.

5.3.2 ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

При параллельном соединении (рис. 5.28) сигналы входа всех звеньев одинаковы и равны сигналу входа системы x(t), а выход y(t) равен сумме сигналов выходов звеньев.

Для каждого звена в операторной форме можно записать:

Рис. 5.28 Параллельное соединение звеньев

тогда выход всей системы

n

y(s) = y1(s) + ... + yn (s) = x(s)[W1(s) + ... +Wn (s)] = x(s)∑Wi (s) , (5.78)

i=1

откуда передаточная функция параллельного соединения

Таким образом, передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Временные характеристики, в частности, переходную функцию можно получить из (5.79):

Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы: у(s) = уn(s), а передаточная функция системы согласно определению имеет вид

Wc (s) = xy((ss)) = yxn((ss)) .

Проводя последовательную подстановку, получают передаточную функцию последовательного соединения

i=1

Рис. 5.31 Последовательное соединение звеньев

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Частотные характеристики легко получают из (5.82), так как

т.е. амплитудно-частотная характеристика последовательного соединения равна произведению АЧХ отдельных звеньев, а фазочастотная – сумме ФЧХ отдельных звеньев. Иллюстрация построения АФХ двух последовательно соединенных звеньев, заданных своими АФХ, приведена на рис. 5.32.

Переходную функцию получают следующим образом. Если входной сигнал x(t) = 1(t), то на выходе первого звена имеем его переходную функцию h1(t), которая подается на вход второго звена. На выходе второго звена получают переходную функцию двух последовательно соединенных звеньев. Если собственная переходная функция второго звена h2(t), то переходная функция соединения определится через интеграл Дюамеля:

Продолжая рассуждения дальше, можно получить выражение переходной функции для любого числа последовательно соединенных звеньев.

Рис. 5.32 Построение АФХ последовательного соединения:

а – АФХ первого звена; б – АФХ второго звена;

в – АФХ последовательного соединения первого и второго звеньев Следует отметить, что все полученные утверждения справедливы только для звеньев направленного

действия.

Примером технологического объекта, имеющего структурную схему последовательного соединения, является любой технологический процесс, в котором отдельные стадии и участки представляются в виде соответствующего звена.

5.3.4 СОЕДИНЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход, где сигнал обратной связи алгебраически суммируется с внешним сигналом. Структурная схема соединения с обратной связью изображена на рис. 5.33.

Если х1 = х + xос, то связь называется положительной, если же х1 = х – xос, то – отрицательной.

Для вывода передаточной функции соединения с положительной обратной связью выходные сигналы для каждого звена в операторной форме записываются как:

y(s) = x1(s)Wпр(s); x1(s) = x(s) + xос(s); xос(s) = y(s)Wос(s) .

Исключая из полученной системы х1(s) и хос(s), получают

y(s) = x(s)Wпр(s) + y(s)Wос(s)Wпр(s) ;

y(s)(1−Wос(s)Wпр(s)) = x(s)Wпр(s) ,

откуда передаточная функция соединения с положительной обратной связью имеет вид

Для соединения с отрицательной обратной связью передаточная функция выводится аналогичным образом и определяется в окончательном виде выражением

Рис. 5.33 Соединение с обратной связью

На практике наиболее распространенными являются системы с отрицательной обратной связью, к ним относятся, например, все одноконтурные системы автоматического регулирования, причем в прямой цепи расположен объект, а в обратной – регулятор.

5.3.5 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Структурная схема одноконтурной системы автоматического регулирования приведена на рис. 5.34.

В расчетах систем автоматического регулирования используют три основных вида передаточных функции. Эти функции определяются следующим образом.

Главной передаточной функцией является передаточная функция по каналу регулирования yзад − y(t), f0 (0) = 0 :

ошибка регулирования и f0(t) = 0:

Анализ передаточных функций замкнутой системы показывает, что знаменатель у них один и тот же, а числители различны. Для замкнутой системы можно записать целый ряд других передаточных функций, например, для ошибки по возмущающему воздействию.

Характеристическое уравнение замкнутой системы находится в знаменателе передаточной функции и записывается в виде

Корни этого уравнения равны полюсам si передаточной функции замкнутой системы. Динамические свойства процессов, протекающих в замкнутой системе, существенно отличаются от таковых в разомкнутой цепи, состоящей из тех же самых звеньев. Так как передаточная функция разомкнутой цепи записывается в виде Wр.с(s) = Wоб(s)Wр(s), то главная передаточная функция может быть записана как

5.3.6 ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Реальные объекты обладают сложной структурой. Упрощение вывода передаточных функций сложных объектов в схемах достигается за счет преобразования их структурных схем к трем основным типам соединений.