осн. киб лекц

Как и в случае использования П-регулятора, из второго уравнения системы (7.5) определяется рабочая частота (рис. 7.4), по которой из первого уравнения определяется предельное значение настройки S0:

результате построения определяется отрезок d, отсекаемый АФХ разомкнутой системы на отрицательной вещественной полуоси. Увеличение значения настройки S0 приводит к тому, что АФХ разомкнутой системы "распухает" и отсекает уже на отрицательной вещественной полуоси отрезок r, определяемый

как r = S0d.

Дальнейшее увеличение S0 приводит к тому, что АФХ разомкнутой системы пройдет через точку (–1, i0), и следовательно r = 1, а отсюда предельное значение настройки И-регулятора определится как

S0пред = d1 .

Таким образом, для того, чтобы синтезировать устойчивую систему, необходимо выбирать настройки П- и И-регуляторов меньше предельных значений, а ПИ-регулятора из области, расположенной ниже границы устойчивости.

7.3 Оценка запаса устойчивости

Синтез устойчивых систем, находящихся вблизи от границы устойчивости и не обладающих необходимым запасом устойчивости, не удовлетворяет ни одну реальную систему, так как любое изменение переменных, даже незначительное, может вывести систему из устойчивого режима. В связи с этим необходимо количественно оценить запас устойчивости. Наиболее распространенными оценками последнего являются следующие оценки.

7.3.1 КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

Как известно, границей устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения является мнимая ось, поэтому, чем ближе корни характеристического уравнения располагаются к мнимой оси, тем ближе система находится к границе устойчивости. Следовательно, оценить запас устойчивости можно по расположению корней характеристического уравнения. Такой оценкой явля-

ется степень устойчивости η, которая определяется расстоянием до мнимой оси ближайшего корня

(рис. 7.6, а).

Если запас устойчивости будет задан через показатель ηзад, то система должна иметь степень устойчивости больше или равную заданной η ≥ ηзад, и область расположения корней будет находиться слева от прямой η = ηзад (рис. 7.6, а).

Рис. 7.6 Корневые показатели оценки запаса устойчивости:

а− степень устойчивости; б − степень колебательности;

в− одновременное использованиестепениустойчивостиистепениколебательности

Другим показателем этой группы является степень колебательности m − модуль минимального отношения действительной и мнимой частей корня sj характеристического уравнения по сравнению с другими корнями (рис. 7.6, б):

С геометрической точки зрения степень колебательности является тангенсом угла, заключенного между лучами ОА или ОВ, проведенными через начало координат и наиболее удаленные корни, и мнимой осью, т.е. tg ϕ = m или ϕ = arctg m. Корни, находящиеся на этих лучах, расположены таким образом, что все остальные корни лежат слева от них (в секторе АОВ).

Для обеспечения запаса устойчивости необходимо, чтобы степень колебательности в системе была больше или равна заданной m > mзад, а область заданного запаса устойчивости в этом случае определится сектором АОВ (рис. 7.6, б).

В ряде случаев для оценки запаса устойчивости можно использовать одновременно оба рассмотренных показателя − степень устойчивости и степень колебательности. В этом случае область обеспечения заданного запаса устойчивости определяется областью АВСD (рис. 7.6, в).

7.3.2 ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ

Среди частотных методов оценки запаса устойчивости прежде всего выделяются методы, связанные с амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, это запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по модулю определяется как длина отрезка d, равного расстоянию от точки пересечения АФХ разомкнутой системы с отрицательной вещественной полуосью до точки (–1, i0) (рис. 7.7, а).

Im

тем начинает уменьшаться, следовательно, и АЧХ замкнутой системы вначале будет возрастать, а затем уменьшаться, т.е. будет иметь максимум. Для того, чтобы этот максимум имел заданную величину, а, следовательно, был задан показатель колебательности, необходимо, чтобы геометрически на плоскости АФХ разомкнутой системы отношение отрезков ОВ и АВ имело постоянную величину (рис. 7.9):

Если заданпоказательколебательности, тозадан запас устойчивости (максимумАЧХ замкнутой системы не должен превышать некоторой заранее заданной величины), выражающийся геометрически

в заданиина плоскости АФХ разомкнутойсистемыокружности радиусом r = MM2 −1 , сцентром на отри-

фазовая характеристика разомкнутой системы(рис. 7.10).

7.4Анализ систем на запас устойчивости

7.4.1РАСШИРЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Как известно, амплитудно-фазовая характеристика является конформным отображением мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения на плоскость АФХ, механизмом ее получения является замена в передаточной функции комплексного параметра s на iω. Введение в рассмотрение запаса устойчивости равносильно переносу границы устойчивости.

Если запас устойчивости характеризуется степенью устойчивости, то в этом случае граница устойчивости как бы сдвигается влево на величину ηзад (рис. 7.11, а).

Отображение новой границы устойчивости, характеризующейся заданной степенью устойчивости, на плоскость АФХ даст некоторый годограф, который получил название расширенной амплитудно-фазовой характеристики. В плоскости корней характеристического уравнения любая точка на прямой заданной степени устойчивости определяется как s = −ηзад + iω. Следовательно, для получения расширенной частотной характеристики необходимо в передаточной функции комплексный параметр s заменить на (−ηзад + iω). Годограф расширенной амплитудно-фазовой характеристики (РАФХ) W( – ηзад + iω) по сравнению с обычной АФХ стал как бы шире ("распух") (рис. 7.11, б), в связи с чем эта характеристика и получила название расширенной. Согласно свойствам конформного отображения при ω = 0 эта РАФХ выходит под углом 90º к действительной полуоси.

Следующая расширенная частотная характеристика характеризуется заданной степенью колебательности. В этом случае граница устойчивости определяется лучами АОВ (рис. 7.12, а).

Рис. 7.11 Расширенная частотная характеристикапостепениустойчивости:

а− плоскость корней характеристического уравнения;

б− частотные характеристики

Рис. 7.12 Расширеннаячастотнаяхарактеристикапостепениколебательности:

а− плоскость корней характеристического уравнения;

б− частотные характеристики

Отображение этой границы на плоскости АФХ и дает годограф расширенной амплитудно-фазовой характеристики по степени колебательности m.

На лучах АОВ параметр s имеет координаты (–α, iω), которые связаны соотношением α = mω, тогда s = −α + iω = −mω + iω, следовательно, для получения РАФХ достаточно в передаточной функции комплексный параметр s заменить на (−mω + iω). Годограф рассматриваемой РАФХ − W(−mω + iω) на

б).

Расширенные амплитудно-фазовые характеристики могутбытьзаписанычерез расширенные амплитудноифазочастотные характеристики:

W(−η + iω) = М(η, ω) e−iϕ(η,ω); W(−mω + iω) = М(m, ω) e−iϕ(m,ω). (7.10)

Пример 7.1 Построить расширенные частотные характеристики, если

W (s) = TsK+1 :

а) Производя замену s = − mω + iω, имеем

Условие, согласно которому замкнутая система будетобладать заданнойстепенью колебательности m, формулируется следующим образом. Если разомкнутая система имеет степень колебательности mзад, тозамкнутая система будет обладать заданной степенью колебательности, если РАФХразомкнутой системыW(−mω + iω) проходитчерез точку (–1, i0). Если РАФХ разомкнутой системыW(−mω + iω) не охватываетточку (–1, i0), тостепень колебательности замкнутойсистемыбудет вышеmзад.

При анализе системы на запас устойчивости по модулю и по фазе необходимо построить АФХ замкнутой системы и определить исследуемые запасы устойчивости графически, согласно их определению.

При оценке запаса устойчивости по показателю колебательности М строится АФХ разомкнутой

тема обладает запасом устойчивости выше заданного, если АФХ разомкнутой системы не заходит внутрь этой окружности. Если АФХ касается этой окружности, то замкнутая система обладает заданным запасом устойчивости.

7.5Синтез систем, обладающих заданным запасом устойчивости

Вп. 7.2 был рассмотрен синтез устойчивых систем. Теперь необходимо провести синтез систем,

обладающих заданным запасом устойчивости, например, заданной степенью колебательности mзад. Под синтезом в данном случае будем понимать расчет настроек регуляторов в замкнутой одноконтурной системе регулирования.

Как известно, для того, чтобы замкнутая система обладала заданным запасом устойчивости − заданной степенью колебательности, необходимо и достаточно, чтобыРАФХ разомкнутой системыW(– mω + iω) проходила через точку (–1, i0). На основании этого можно записать:

Уравнение (7.11) можно свести к системе двух уравнений, отра-жающих связь между частотными

характеристиками объекта и регу-лятора:

где S0, S1, S2 − параметры настроек регуляторов. Система уравнений (7.12) позволяет определить рабочую частоту и параметры настроек регуляторов, эта система может быть записана также в виде:

Imp.c (m, ωp , S0 , S1, S2 ) = 0; .

Rep.c (m, ωp , S0 , S1, S2 ) = −1.

7.5.1 СИСТЕМА С П-РЕГУЛЯТОРОМ

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика П-регулятора записывается в виде: Wp(−mω + iω) = −S1 = S1e−iπ, тогда система уравнений (7.12) для системы автоматического регулирования с П- регулятором преобразуется к виду:

Mоб(ωр)

А − ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЫ ωP; Б − ОПРЕДЕ-

ЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАЧХ ОБЪЕКТА ПРИ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЕ ωP

Из второго уравнения системы определяется рабочая частота ωp. Последнюю можно определить и графически, для чего следует построить расширенную фазочастотную характеристику объекта и прямую, равную −π (рис.7.15, а), пересечение которых и дает ωp. Настройка П-регулятора определится по соотношению

где значение расширенной АЧХ объекта можно определить как аналитически, так и графически (рис. 7.15, б).

7.2.5 СИСТЕМА С И-РЕГУЛЯТОРОМ

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика И-регулятора имеет вид

С учетом этой характеристики система уравнений (7.12) для определения настройки S0 и рабочей частоты записывается в виде

РИС. 7.16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАСТРОЙКИ И-РЕГУЛЯТОРА, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ

ЗАДАННУЮ СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ:

А − ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЫ ωP; Б − ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАЧХ

ОБЪЕКТА ПРИ РАБОЧЕЙ ЧАСТОТЕ ωP

Решение системы уравнений (7.15) может быть проведено как аналитически, так и графически. Графическое решение второгоуравненияс цельюопределения рабочей частоты представлено на рис. 7.16, а.

На рис. 7.16, б представлено определение значения РАЧХ объекта при рабочей частоте. Настройка S0 И-регулятора, обеспечивающая заданную степень колебательности, определяется соотношением

7.5.3 СИСТЕМА С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора:

откуда для регулятора

ПИ-регулятор имеет два параметра настроек S0 и S1, которые вместе с ωp подлежат расчету. Система уравнений (7.12) записывается в виде:

Полученная система позволяет определить только два неизвестных, а надо три, поэтому она имеет бесконечноемножестворешений.

Для получения этих решений система разрешается относительно значений настроек: