_03Л_Базис и анализ КУ

1. Базис

Базисом называется функционально полная система (совокупность) логических элементов, которая позволяет реализовать любую логическую схему произвольной сложности.

Всего существует 4 функции одной переменной и 16 функций двух переменных. Ранее отмечалось, что с помощью этих элементарных функций можно построить любую сложную логическую функцию.

Для построения сложной логической функции нет необходимости использовать все элементарные функции. Набор элементарных функций, можно ограничить, исключая из него те элементы, которые можно выразить через другие. Последовательно исключая из базиса функции, получают минимальный базис.

Под минимальным базисом понимают такой набор функций, исключение из которого любой функции превращает полную систему в неполную.

При рассмотрении законов булевой алгебры использовались только три элементарные функции (НЕ, И, ИЛИ). Через три логические функции инверсии (НЕ), конъюнкции (И), дизъюнкции (ИЛИ) можно выразить любую элементарную функцию и построить любое сложное логическое устройство.

Набор из трех функций (НЕ, И, ИЛИ) является базисом. Однако, базис (НЕ, И, ИЛИ) не является минимальным. Используя закон де Моргана из него можно исключить одну из функций И либо ИЛИ.

Наборы (НЕ, И), а также (НЕ, ИЛИ) из двух функций так же являются базисами. Действительно функцию И можно реализовать через функции (НЕ, ИЛИ):

а функцию ИЛИ можно реализовать через функции (НЕ, И):

Таким образом мы избавляемся от одной из трех функций базиса И, ИЛИ, НЕ. Можно исключить из базиса элемент И или ИЛИ, но нельзя исключить инверсию.

Довольно удобно технически реализуются на микросхемах логические элементы, совмещающие в себе сразу две функции, например: И-НЕ или ИЛИ-НЕ. Удобство объясняется тем, что в элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ всегда присутствует простейший транзисторный усилитель, в котором обычно инвертируется фаза входного сигнала, т.е. изменяется на 180°.

Каждый из элементов (И-НЕ) (штрих Шеффера), (ИЛИ-НЕ) (стрелка Пирса) в отдельности является функционально полным базисом, который позволяет синтезировать любое сколь угодно сложное логическое устройство.

Рассмотрим, для примера, реализацию функций НЕ, ИЛИ, И в базисе (И-НЕ). Для инверсии необходимо просто подать входной сигнал на оба входа. Для дизъюнкции — воспользоваться законом де Моргана, т.е. сначала инвертировать входные сигналы, а потом над результатами выполнить операцию И-НЕ. Для конъюнкции — сначала применить операцию И-НЕ, а затем инвертировать входные сигналы.

На рис. 1 эти тождественные замены показаны в виде функциональных схем.

Рис. 1

Привлекательность базисов из одной логической функции (И-НЕ) либо (ИЛИ-НЕ) заключается в том, что все логическое устройство построено только на однотипных логических элементах. Получаем логическую схему, которая обладает регулярной структурой. Необходимо только осуществить коммутацию одинаковых логических элементов. Базисы на логических элементах (И-НЕ), (ИЛИ-НЕ) широко используются при проектировании больших интегральных микросхем, потому что уменьшают количество типов элементов и технологий для их реализации.

Недостатком минимальных базисов является увеличение числа логических элементов в схеме, что приводит к ее усложнению и увеличению временных задержек. Поэтому на практике часто используют неминимальные базисы. Возможны различные базисы, отличающиеся друг от друга числом входящих в них функций и видом этих функций. Выбор того или иного базиса для построения логических устройств обусловлен тем, насколько экономически удобно и просто выполнить элементы, технически реализующие входящие в базис функции, и все логическое устройство в целом.

2. Анализ комбинационных устройств (6ез памяти)

Комбинационные устройства — цифровые устройства, выходные сигналы которых зависят только от входных сигналов, действующих в текущий момент времени, и не зависят от предыдущего внутреннего состояния или предшествующих входных сигналов. Другими словами, комбинационные устройства — это устройства без памяти. Их можно представить в виде многомерного п, т — многополюсника (рис. 2).

Рис. 2

Условия функционирования комбинационного устройства можно представить в виде системы логических функций, называемых функциями выходов

Задача анализа условии функционирования сводится к определению всех функций выхода дискретного устройства по известной принципиальной схеме реального устройства. Результат анализа представляется в виде функций алгебры логики и/или таблицы истинности.

2.1. Порядок анализа

1. На функциональной схеме выходы всех логических элементов (ЛЭ) обозначить промежуточными переменными.

2. Составить логические функции для каждого ЛЭ.

3. Путем подстановок исключить все внутренние переменные. Получить формулы зависимости выходов у₁,...у_т от его входов x₁,....х_п.

4. Составить таблицу истинности.

5. Представить результаты анализа в удобной для пользователя форме.

Последний пятый пункт алгоритма анализа в общем случае уже является переходом к задаче синтеза комбинационного устройства.

2.2. Пример анализа

Рассмотрим анализ приведенной на рис.3 схемы

Рис.3

Установим промежуточные переменные z₁, z₂, z₃, z₄ и запишем функции передачи для каждого ЛЭ.

Исключим внутренние промежуточные переменные

Составим таблицу истинности

Таблица истинности комбинационного устройства.

Таблицы истинности могут быть записаны в других формах, которые могут оказаться более удобными в различных случаях: карты Вейча, карты Карно и т.д.