5.3. Закон больших чисел

1. Неравенство Чебышева

Мы видели, что характеристика σ_Х=√D_X представляет некоторую среднюю меру, стандарт, отклонения от центра распределения. Следует ожидать, что отклонения, значительно превышающие по абсолютной величине σ_Х, должны быть маловероятны.

В случае нормального распределения эта вероятность равна:

Q(t) = P(|X-m_X|>t σ_Х).

где t>0 изображается площадью под нормальной кривой вне интервала (-t, +t). Для t=3 эта вероятность составляет 0,0027; при t=4 вероятность уменьшается до 0, 000063, при t=6 вероятность уменьшается до 2*10^-9 и т.д.

Заслугой Чебышева является доказательство неравенства, показывающего, что убывание вероятности Q(t) при возрастании t хотя и не всегда совершается столь быстро, как в нормальном случае, но оно происходит всегда не медленнее, чем по закону 1/t².

При любом законе распределения, обладающем моментом двух первых порядков (математическое ожидание и дисперсия) верхняя граница вероятности равна:

Q(t) = P(|X-m_X|>t σ_Х)<=1/t². (8)

Простота и универсальность позволяет использовать неравенство Чебышева для важных теоретических заключений, хотя для практических расчетов оно оказывается слишком грубым [*].

5.4. Основные предельные законы теории вероятностей

Рассмотрим две фундаментальные теоремы теории вероятностей, имеющие обширный круг приложений. Эти теоремы представляют обобщение теорем Я. Бернулли и Лапласа, относящиеся к закону распределения частот (или числа появлений) случайного события в данной серии независимых испытаний.

Число появлений событий в n независимых испытаниях можно рассматривать как сумму n независимых величин. После каждого испытания наблюдатель записывает результат, ставя 1 или 0, в зависимости от того, появилось или не появилось событие в этом испытании. С испытанием связана случайная двузначная величина X_s, s=1, 2, .. Все величины независимы между собой и одинаково распределены согласно таблице распределений:

0	1
q=1-p	p

X

Мы можем представить величины X_s как разные экземпляры одной и той же величины Х (без номера). Сумма S_n = X₁+X₂+…X_n равна числу m появлению событий в серии испытаний.

Частота событий m/n представляется средним арифметическим величины X_s:

S_n/n = (X₁+X₂+…X_n)/n. (9)

Для этого представления частости можно рассчитать основные характеристики ее распределения, которые совпадают с биноминальным распределением:

- математическое ожидание М(S_n/n)=p;

- дисперсия D(S_n/n)=pq/n, (10)

Дисперсия частости согласно (10) стремиться к нулю при неограниченном возрастании n. Опираясь на неравенство Чебышева (8) получаем теорему Якова Бернулли:

P{|S_n/n – p| ≥ ξ} = P{|(X₁+X₂+..+X_n)/n – M(X₁+X₂+..+X_n)/n| >ξ}→ 0 при n→ ∞

(11)

Теорема Бернулли (11) утверждает, что среднее арифметическое большого числа независимых величин (частного вида – двухзначных) почти наверное будет как угодно близко к своему математическому ожиданию – постоянной величине р.

То обстоятельство, что дисперсия величины S_n/n стремиться к нулю при n→ ∞, имеет следствием устойчивость среднего арифметического. Распределение среднего (частости) концентрируется в сколь угодно малом интервале (р-ξ, р+ξ), а вероятность, приходящаяся на значения вне этого интервала, как угодно мала при достаточно большом n.

В этом случае говорят, что последовательность средних арифметических при при n→ ∞ «сходится по вероятности» к постоянной величине:

P = M(S_n/n). (12)

Факт устойчивости средних арифметических большого числа одинаково распределенных независимых величин имеет место при произвольном распределении каждого слагаемого, если только при этом распределении величины обладают конечной дисперсией.

В этом случае:

X_n^cp = (X₁+X₂+…+X_n)/n имеет место D(X_n^cp) = D(X)/n, (13)

и поэтому D(X_n^cp)→0 при n→∞.

На основании неравенства Чебышева получим при сколь угодно малом (но постоянном) ξ>0:

P(|X_n^cp – m_X|>ξ)< D(X_n )/ξ² → 0, (14)

P(|X_n^cp – m_X|≤ξ) ξ² → 1,

что доказывает сходимость последовательности X_n^cp по вероятности к пределу m_X при n→∞.

Осредняя достаточно большое число независимых и одинаково распределенных случайных величин, мы получаем с вероятностью, как угодно близкой к единице, значение, сколь угодно мало отличающееся от общего математического ожидания величин. Это положение, называемое «законом больших чисел», было установлено П.Л. Чебышевым (1821 – 1894).

Этот закон выражает основную и общую закономерность, имеющую первостепенное значение, как для обоснования статистических методов, так и для теоретического объяснения большого круга явлений (в области молекулярных процессов).