1.2. Задачи математической статистики

1. Определить способы сбора и группировки статистических данных, сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

2. Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от цели исследования для получения научных и практических выводов.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает задачи анализа и представления результатов исследования.

Методы математической статистики имеет смысл применять, если необходимо обработать и представить результаты:

1. серии случайных экспериментов, свойства которых частично или полностью неизвестны;

2. эксперимента, проводимого в одних и тех же условиях некоторое число раз. Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей, психолого-педагогический эксперимент.

Математическая статистика является разделом математики, но ее методы нашли широкое применение в различных областях науки. Многие статистические процедуры и методы достаточно понятны, просты и легко применимы на практике.

Степень математизации научных дисциплин служит объективной характеристикой глубины знаний об изучаемом предмете. Так, многие явления физики, химии, техники описываются математическими методами достаточно полно. В результате эти науки достигли высокой степени теоретических обобщений. В педагогике и психологии статистические и математические методы играют подчиненную роль из-за сложности объектов, процессов и явлений, вариабельности их характеристик, наличия индивидуальных особенностей испытуемых.

Более основательное знакомство педагогов-исследователей с современными статистическими методами поможет им повысить качество обработки, анализа и интерпретации данных педагогического или психологического эксперимента при проведении научно-исследовательской работы.

Математическая статистика в руках педагогов, психологов, экономистов и социологов должна быть не только мощным инструментом, позволяющим успешно обрабатывать, анализировать и представлять полученные экспериментальные данные, но и средством объективного познания окружающей действительности.

1.3. Генеральная и выборочная совокупности

Исходным объектом математической статистики являются выборка и генеральная совокупность. Генеральнаясо­вокупность (популяции) – это множество объектов, в отношении которого формулируется исследовательская гипотеза. Популяция объединяет какое-либо множество испытуемых по одному или нескольким интересующим исследователя признакам, например, множество учащихся начальных классов, множество женщин старше 40 лет.

Применение большинства статистических методов основано на идее использования небольшой случайной совокупности испы­туемых из общего числа тех, на которых можно было бы распространить (генерализовать) выводы, полученные в результате изучения совокупности. Генеральная совокупность – это бесконечное по численности, но как, правило, недоступное для сплошного исследования множество испытуемых. Выборка– это ограниченная по численности группа объектов (испытуемых, респондентов), специально отбираемая из генеральной совокупности для изучения ее свойств. Например, учащиеся 2А и 2Б класса гимназии.

Выборочное исследование – это исследование, при котором исследователь производит выбор ограниченного числа элементов из генеральной совокупности.

Главное требование к выделению изучаемой совокупности —это ее качественная однород­ность, например, по уровню знаний, росту, возрасту, весу и другим признакам. Члены совокупности могут сравниваться меж­ду собой в отношении только того качества, которое является предметом исследования. При этом обычно аб­страгируются от других не интересующих исследователя качеств. Так, если педагога-психолога интересует успеваемость учащихся начальных классов, то он не принимает во внимание, как правило, их рост, вес и другие параметры, не относящиеся непосредственно к изучаемому вопросу.

Объем выборки(n, N) – число испытуемых выборочной совокупности. Например, если из всех учащихся начальных классов (120 человек) отобрано для исследования 30 детей 2А и 2Б класса, то объем выборкиn=30, объем генеральной совокупностиN=120. В математической статистике различаютмалочисленную(n<30),среднюю(30<n<100) имногочисленную(n>100) выборку.

Основными свойствами выборки являются репрезентативность и достоверность. Репрезентативность выборки – свойство выборки, которое характеризует ее представительность: способность выборки представлять изучаемые явления достаточно полно с точки зрения их изменчивости в генеральной совокупности. Иными словами, репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру, но точную модель той генеральной совокупности, которую она должна отражать. Достижению репрезентативности может способствовать такая организация экспери­мента, при которой элементы выборки извлекаются из генеральной сово­купности случайным образом. Правда, на практике, это требование не всегда возможно соблюдать в силу определенных причин. Например, при выяснении мнения по какому–то вопросу у студентов вуза, выборка, составленная только из студентов 1 курса, не будет репрезентативной.

В конкретной деятельности при проведении опытно-экспериментального исследования педагог-психолог действует следующим образом: устанавливает подгруппу (выборку) внутри генеральной совокупности, подробно изучает эту выборку (проводит с ней опытно-экспериментальную работу), а затем, если это позволяют результаты статистического анализа, распространяет полученные выводы на всю генеральную совокупность. Это распространение результатов называется генерализуемостью [3, c. 33]. Например, изучая агрессивность подростков, исследователь может случайным образом выбрать 3 группы учащихся различных школ города по 10 человек из каждой школы. Если же педагог-психолог приглашает участвовать в опытно-экспериментальном исследовании 30 своих друзей-подростков, он грубо нарушает условия репрезентативности (принцип случайного отбора).

Статистическая достоверность выборки(статистическая значимость) результатов исследования определяется при помощи методов математической статистики. Группа таких методов будут рассмотрены в последующих модулях данного учебного пособия. Также будут рассмотрены вопросы, связанные с требованиями, предъявляемыми к объему (численности) выборки.

Если для каждого объекта в выборке измерено значение одной переменной (параметра), популяция и выборка называются одномерными. Если же для каждого объекта регистрируются значения двух или нескольких переменных (параметров), такие выборка и популяция называются многомерными.