Учебное пособие по информатике

истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются

высказывательными формами.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и»,

«или», «если... , то», «то да и только то да» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются ло ическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание «Иванов студент пятого курса», а через В – высказывание «Иванов в сентябре будет на педагогической практике». Тогда составное высказывание «Иванов студент пятого курса и в сентябре будет на педагогической практике» можно кратко записать как А и В. Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».

2. Логические операции

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание ¬A истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример: A – «Я умею программировать», ¬A– «Я не умею программировать».

Высказывание А Λ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Пример: A– «сдал зачеты», B – «сдал зачеты», A Λ B – «сдал сессию».

ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком V (используются также

ǁ, ǀ, +, OR ). Высказывание А V В ложно тогда и только тогда, когда оба

31

высказывания А и В ложны. Пример: A – «подключена мышь», B –

называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается

и конъюнкцию: А↔В = (¬A V В) Λ (¬В V А).

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и в последнюю очередь – импликация.

3.Логические формулы

Спомощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение ло ической формулы:

Всякая логическая переменная и символы «истина» ( «1») и «ложь» ( «0») – формулы.

Если А и В – формулы, то ¬A, А Λ В , А V В, А →B, А ↔В – формулы.

Никаких других формул в алгебре логики нет.

Вкачестве примера рассмотрим высказывание «если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог». Это высказывание формализуется в виде (A V B) → C. Такая же формула соответствует высказыванию «если Андрей знает английский или японский язык, то он получит место переводчика».

Как показывает анализ формулы (A V B) → C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение «истина», а при некоторых других сочетаниях – значение «ложь». Такие формулы называются вы олнимыми.

32

Некоторые формулы принимают значение «истина» при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А V ¬A, соответствующая высказыванию «Этот треугольник прямоугольный или косоугольный». Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтоло иями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются ло ически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А Λ ¬A, которой соответствует, например, высказывание «Моя машина самая скоростная, и в городе есть машины, скорость которых выше». Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо ¬A обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или

ротиворечиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются ло ически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом «=» или символом «» Замена формулы другой, ей равносильной, называется

равносильным реобразованием данной формулы.

4. Логические схемы и таблицы истинности

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 3.

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением:

z = x . y (читается как «x и y»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&», являющимся сокращенной записью английского слова and.

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

33

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. 4. Значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1. Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как «x или y»).

Условное обозначение на структурных схемах инвертора – на рисунке 5.

инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: z = ¬(x Λ y), где ¬(x Λ y) читается как «инверсия x и y». Условное обозначение

Схема ИЛИ – НЕ (Элемент Вебба) состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: z = ¬(x y), где ¬(x y) читается как «инверсия x или y». Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ – НЕ с двумя входами представлено на рис. 7.

Таблица истинности схемы ИЛИ– НЕ

34

Схема Импликация состоит из элемента ИЛИ и осуществляет дизъюнкцию отрицания входа x и входа y схемы ИЛИ. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: z = x→y = ¬x y читается как «из x следует y». Условное обозначение на структурных схемах схемы Импликация с двумя входами представлено на рис. 8.

«x эквивалентно (равносильно) y». Условное обозначение на структурных схемах схемы Импликация с двумя входами представлено на рис. 9.

Схема Сложение по модулю 2 (Исключающее ИЛИ). Связь между

обозначение на структурных схемах схемы Импликация с двумя входами представлено на рис. 10.

5. Законы логики

В алгебре логики выполняются следующие основные законы,

35

7. Триггеры

Три ер – это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю.

Термин триггер происходит от английского слова trigger – защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Отличительной особенностью триггера как функционального устройства является свойство запоминания двоичной информации. Под памятью триггера подразумевают способность оставаться в одном из двух состояний и после прекращения действия переключающего сигнала. Приняв одно из состояний за «1», а другое за «0», можно считать, что триггер хранит (помнит) один разряд числа, записанного в двоичном коде.

Самый распространённый тип триггера собирается из четырех логических элементов «И-НЕ» (причем два из них играют вспомогательную роль) – так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set – установка, и reset – сброс).

Условное обозначение триггера представлено на рисунке 11. Триггер имеет два симметричных входа,

обозначенные на схеме R и S, а также два выхода, помеченные буквой Ǫ и Ǭ – прямой и инверсный. Триггер устроен таким образом, что на прямом и инверсном выходах сигналы всегда противоположны.

Триггеры подразделяются на две большие группы – динамические и статические. Названы они так по способу представления выходной информации.

Динамический триггер представляет собой систему, одно из состояний которой (единичное) характеризуется наличием на выходе непрерывной последовательности импульсов определённой частоты, а другое — отсутствием выходных импульсов (нулевое). Смена состояний производится внешними импульсами. Динамические триггеры в настоящее время используются редко.

К статическим триггерам относят устройства, каждое состояние которых характеризуется неизменными уровнями выходного напряжения (выходными потенциалами): высоким – близким к напряжению питания и низким – около нуля. Статические триггеры по способу представления выходной информации часто называют потенциальными.

Статические (потенциальные) триггеры, в свою очередь, подразделяются на две неравные по практическому значению группы – симметричные и несимметричные триггеры. Оба класса реализуются на

37

двухкаскадном усилителе с положительной обратной связью, а названием своим они обязаны способам организации внутренних электрических связей между элементами схемы.

Симметричные триггеры отличает симметрия схемы и по структуре, и по параметрам элементов обоих плеч. Для несимметричных триггеров характерна неидентичность параметров элементов, а также и связей между ними.

Симметричные статические триггеры составляют основную массу триггеров, используемых в современной радиоэлектронной аппаратуре.

симметричные триггеры по способу организации логических связей между входами и выходами триггера в определённые дискретные моменты времени до и после появления входных сигналов. По этой классификации триггеры характеризуются числом логических входов и их функциональным назначением.

Триггеры могут быть в синхронном и асинхронном исполнении. Асинхронный триггер изменяет своё состояние непосредственно

в момент появления соответствующего информационного сигнала(ов), с некоторой задержкой равной сумме задержек на элементах составляющих данный триггер.

Синхронные триггеры реагируют на информационные сигналы только при наличии соответствующего сигнала на так называемом входе синхронизации С (от англ. clock). Этот вход также обозначают термином «такт». Такие информационные сигналы называют синхронными. Синхронные триггеры в свою очередь подразделяют на триггеры со статическим (статические) и динамическим (динамические) управлением по входу синхронизации С.

Односту енчатые триггеры состоят из одной ступени представляющей собой элемент памяти и схему управления, делятся на триггеры со статическим управлением и триггеры с динамическим

информационные сигналы при изменении (перепаде) сигнала на входе от 0 к 1 или от 1 к 0.

Двухсту енчатые триггеры бывают, как правило, со статическим управлением. При одном уровне сигнала на входе С информация, в соответствии с логикой работы триггера, записывается в первую ступень (вторая ступень заблокирована для записи). При другом уровне этого сигнала происходит копирование состояния первой ступени во вторую (первая ступень заблокирована для записи), выходной сигнал появляется

38

в этот момент времени с задержкой равной задержке срабатывания ступени. Обычно двухступенчатые триггеры применяются в схемах, где логические функции входов триггера зависят от его выходов, во избежание временных гонок. Двухступенчатые триггеры с динамическим управлением встречаются крайне редко. Двухступенчатый триггер обозначают ТТ.

Три еры со сложной ло икой бывают также одно- и

двухступенчатые. В этих триггерах наряду с синхронными сигналами присутствуют и асинхронные.

8. Сумматор

Основной элементарной операцией, выполняемой над кодами чисел в цифровых устройствах, является арифметическое сложение.

Сумматор – логический операционный узел, выполняющий арифметическое сложение кодов двух чисел. При арифметическом сложении выполняются и другие дополнительные операции: учёт знаков чисел, выравнивание порядков слагаемых и тому подобное. Указанные операции выполняются в арифметическо-логических устройствах (АЛУ) или процессорных элементах, ядром которых являются сумматоры.

Сумматоры классифицируют по различным признакам.

В зависимости от системы счисления различают: двоичные,

двоично-десятичные (в общем случае двоично-кодированные), десятичные, прочие (например, амплитудные).

По количеству одновременно обрабатываемых разрядов складываемых чисел: одноразрядные, многоразрядные.

По числу входов и выходов одноразрядных двоичных сумматоров:

четвертьсумматоры (элементы «сумма по модулю 2»; элементы «исключающее ИЛИ»), характеризующиеся наличием двух входов, на которые подаются два одноразрядных числа, и одним выходом, на котором реализуется их арифметическая сумма;

полусумматоры, характеризующиеся наличием двух входов, на которые подаются одноимённые разряды двух чисел, и двух выходов: на одном реализуется арифметическая сумма в данном разряде, а на другом – перенос в следующий (более старший разряд);

полные одноразрядные двоичные сумматоры, характеризующиеся наличием трёх входов, на которые подаются одноимённые разряды двух складываемых чисел и перенос из предыдущего (более младшего) разряда, и двумя выходами: на одном реализуется арифметическая сумма в данном разряде, а

на другом – перенос в следующий (более старший разряд).

По с особу редставления и обработки складываемых чисел

многоразрядные сумматоры подразделяются на:

39

последовательные, в которых обработка чисел ведётся поочерёдно, разряд за разрядом на одном и том же оборудовании;

параллельные, в которых слагаемые складываются одновременно по всем разрядам, и для каждого разряда имеется

своё оборудование.

Параллельный сумматор в простейшем случае представляет собой n одноразрядных сумматоров, последовательно (от младших разрядов к старшим) соединённых цепями переноса. Однако такая схема сумматора характеризуется сравнительно невысоким быстродействием, так как формирование сигналов суммы и переноса в каждом i-ом разряде производится лишь после того, как поступит сигнал переноса с (i-1)-го разряда. Таким образом, быстродействие сумматора определяется временем распространения сигнала по цепи переноса. Уменьшение этого времени — основная задача при построении параллельных сумматоров.

Для уменьшения времени распространения сигнала переноса применяют: конструктивные решения, когда используют в цепи переноса наиболее быстродействующие элементы; тщательно выполняют монтаж без длинных проводников и паразитных ёмкостных составляющих нагрузки и (наиболее часто) структурные методы ускорения прохождения сигнала переноса.

По с особу ор анизации межразрядных ереносов араллельные сумматоры, реализующие структурные методы, делят на сумматоры:

с последовательным переносом;

с параллельным переносом;

с групповой структурой;

со специальной организацией цепей переноса.

Три первых структуры будут подробно рассмотрены в последующих статьях. Среди сумматоров со специальной организацией цепей переноса можно указать:

сумматоры со сквозным переносом, в которых между входом и выходом переноса одноразрядного сумматора оказывается наименьшее число логических уровней;

сумматоры с двухпроводной передачей сигналов переноса;

сумматоры с условным переносом (вариант сумматора с групповой структурой, позволяющий уменьшить время суммирования в 2 раза при увеличении оборудования в 1,5 раза);

асинхронные сумматоры, вырабатывающие признак завершения операции суммирования, при этом среднее время суммирования уменьшается, поскольку оно существенно меньше максимального.

Сумматоры, которые имеют постоянное время, отводимое для суммирования, независимое от значений слагаемых, называют синхронными.

40