Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вопросы к экзаменам / Решение уравнений средствами Excel

.pdf
Скачиваний:
139
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
291.66 Кб
Скачать

Решение уравнений средствами Excel

 

Содержание

 

1.

Графический способ решения нелинейных уравнений ...............................

2

2.

Подбор параметра............................................................................................

3

3.

Поиск решения.................................................................................................

4

4.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера............................

6

5.

Решение систем линейных матричным способом........................................

7

6.

Варианты заданий............................................................................................

8

7.

Решить систему уравнений.............................................................................

9

2

1. Графический способ решения нелинейных уравнений

Возьмем в качестве примера квадратное уравнение х2-5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

1.В ячейках А2:А22 введём значение аргумента x в диапазоне от 1,5

до 3,5 с шагом 0,1, то есть A2=1.5, A3=A2+0.1 и т. д. A22=A21+0.1, а

значение функции в ячейках B2:B10 – B2=A2^2-5*A2+6 и т. д.

2.Используя Мастер диаграмм, тип диаграммы точечная построим кривую функции y(x)=х2-5х+6, точки пересечения графика функции с осью абсцисс будет решением уравнения: x1=2, x2=3 (Рис.1).

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

-0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

3

2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х2-5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

Рис. 2. Окно диалога Подбор параметра

В ячейку С3 (рис. 2) введем формулу для вычисления значения функции, стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

В окне диалога Подбор параметра (рис. 2) в поле Установить в ячейке

введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение - ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки - ссылку на ячейку, в

которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

4

3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Решатель), доступ к которой реализован через пункт меню

Сервис/Поиск решения.

Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Рис. 3. Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения (рис. 3) необходимо выполнить следующие действия:

1)в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем

примере целевая ячейка - это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 - 5*C3 + 6;

2)для ввода значения целевой ячейки, установить переключатель значению в положение 0;

3)в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции ($С$3) (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического

поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка

Предположить;

5

4)в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;

5)для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Рис. 4. Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис. 4. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

6

4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений рассмотрим на примере системы трёх линейных уравнений

ì

x + 3y + 5z = 4

 

 

 

ï

7 x + 8 y + 9z = 2

 

 

 

í

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

î2x + 5 y + 6 z = -3

 

 

 

 

 

 

1

3

5

 

 

 

 

Тогда главный определитель будет равен =

 

7

8

9

= 26

 

 

 

2

5

6

 

Дополнительные определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

5

 

 

 

1

4

5

 

 

 

1

3

4

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

2

8

9

= 65 ,

y =

 

7

2

9

= -182 ,

z =

 

7

8

2

= 117 .

 

 

- 3 5

6

 

 

 

2

- 3 6

 

 

 

2

5

- 3

 

Решения системы уравнений будет определяться следующими соотношениями:

x = x = 2,5 ; y = y = -7 ; z = z = 4,5 .

Для решения системы линейных уравнений в табличном процессоре MS Excel запишем главный определитель в ячейки A2:C4, дополнительные

x в ячейки A6:C8, y – A10:C12, z – A14:C16. Тогда определители можно найти с помощью функции МОПРЕД:

F2 =МОПРЕД(A2:C4);

F3=МОПРЕД(A6:C8);

F4=МОПРЕД(A10:C12)

F5=МОПРЕД(A14:C12)

Решение системы уравнений будет равно:

x=F3/F2;

y=F4/F2;

z=F5/F2.

7

5. Решение систем линейных матричным способом

Воспользуемся предыдущей системой линейных уравнений:

ì x + 3y + 5z = 4 ïí 7 x + 8 y + 9z = 2

ïî2x + 5 y + 6 z = -3

Данную систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

æ1

3 5

ö

 

æ x ö

æ

4 ö

ç

7

8

9

÷

,

ç

÷

ç

5

÷

A× X = B , где A = ç

÷

X = ç y÷

, B = ç

÷.

ç

2

5

6

÷

 

ç

÷

ç

- 3

÷

è

ø

 

è z ø

è

ø

Решение будем искать из уравнения вида:

X = A1 × B , где A1 обратная матрица матрице A.

Для системы в Excel запишем коэффициентов при неизвестных в ячейках B2:D4, матрицу столбец – F2:F4 (рис. 5).

Рис. 5

Тогда с помощью функции =МОБР(B2:D4) можно найти обратную матрицу A1 , для чего:

1.В ячейке B6 введите функцию МОБР(B2:D4).

2.Выделите диапазон ячеек B6:D8.

3.Нажмите клавишу F2.

4.Нажмите комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.

Для нахождения решения системы уравнений надо перемножить матрицу A1 на матрицу-столбец B . Для этого:

1.В ячейке F6 введите функцию =МУМНОЖ(B6:D8;F2:F4).

2.Выделите диапазон ячеек F6:F8.

3.Нажмите клавишу F2.

4.Нажмите комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.

8

6. Варианты заданий

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

варианта

 

 

 

 

 

 

 

варианта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ex1 - x3 - x

 

 

 

 

 

9

0.25x3 + x - 2

 

x Î [0,1]

 

 

 

 

 

x Î [0, 2 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

x -

 

 

 

 

 

 

arccos

 

 

x

2

3 + sin( 3.6 x )

 

 

 

10

1 + x2

 

 

x Î [0,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

x [ 2,3 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4ln x 5

3

arccos x -

 

1-0.3x3

11

x Î[0,1]

 

 

 

 

 

 

 

x Î [ 2, 4 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

- ex - 2

4

 

1-0.4x2 - arcsin x

12

x Î[0,1]

 

 

 

 

 

 

 

x Î [0,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x -14 + ex - ex

 

 

 

 

 

 

 

- tg x

5

 

 

 

13

 

1- x

 

x Î[1,3]

 

 

 

 

 

 

 

x Î[0,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x + sin x ln(1+ x )

6

 

2x2

+ 1,2 - cos x - 1

14

x Î [0,1]

 

 

 

 

 

 

 

x Î[0, 2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 2

ö

 

æ 1

ö

+

1

 

x5

- x -0,2

7

cosç

÷ - 2 sinç

÷

x

15

 

è x

ø

 

 

è x

ø

 

 

xÎ[1, 2]

 

x Î [1, 2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

0.1x2 - x ln x

 

 

 

 

16

x + 0,5 = ex 2

 

x

Î [1, 2 ]

 

 

 

 

 

x Î [0,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Решить систему уравнений.

 

 

 

 

ì 2x1 - x2 - x3 = 4

 

ì x1 + 4x2 − x3 = 2

 

1.

ï

 

 

+ 4x2

- 2x3 = -1

2.

ï

+ 2x2 + 2x3 = 1

í3x1

í3x1

 

ï

3x1

- 2x2

+ 4x3 = 11

 

ï

+ 4x2 - 2x3 = 5

 

î

 

î6x1

 

ìx1 + 3x2 + 2x3 − 4 = 0

 

ì x1 − x2 + 2x3 = 11

3.

ï

 

+ 6x2 + x3 - 2 = 0

4.

ï

+ 2x2 - x3 = 11

í2x1

í x1

 

ï

 

+ 8x2 - x3 - 2 = 0

 

ï

- 3x2 - 3x3 = 24

 

î4x1

 

î4x1

 

ìx1 + 2x2 + 4x3 = 31

 

ì x1 + x2 + 2x3 = −1

5.

ï

 

+ x2 + 2x3 = 29

6.

ï

- x2 + 2x3 = -4

í5x1

í2x1

 

ï

 

 

- x2 + x3 = 10

 

ï

+ x2 + 4x3 = -2

 

î 3x1

 

î4x1

 

ì x1 − 3x2 − 4x3 = 4

 

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 2

 

7.

ï

 

+ x2 - 3x3 = -1

8.

ï

+ x2 + 2x3 = 3

 

í2x1

í3x1

 

 

ï

 

- 2x2

+ x3 = 11

 

ï

+ 3x2 + x3 = 1

 

 

î3x1

 

î2x1

 

 

ì 3x1 + 2x2 + 4x3 = 6

 

 

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 5

 

9.

ï

4x1

- 3x2

- 8x3

= 6

10.

ï

+ x2 + 2x3

= 6

 

í

í3x1

 

 

ï

 

 

+ 10x2

+ 8x3

= -8

 

 

ï

 

 

 

 

= 1

 

 

î2x1

 

 

î2x1 + 3x2 + x3

 

 

ì- x1 + 3x2 + 2x3 = 6

 

 

ì 2x1 - x2 + x3 = 2

 

ï

2x1 + 8x2 + x3 = 3

12.

ï

 

+ 2x2 + 2x3

= -2

11. í

í3x1

 

 

ï

x1

+ x2

+ 2x3 = 6

 

 

ï

2x2 + 7x3 = 17

 

î

 

 

î

 

 

ì

 

2x1 - x2 = -1

 

 

ì x1 − x2 + 2x3 = 11

13.

ï

 

 

+ x2

+ 2x3 = 6

14.

ï

 

 

 

 

= 11

í3x1

í x1 + 2x2 - x3

 

 

ï

 

 

+ 3x2 + x3 = 1

 

 

ï4x

- 3x

 

- 3x

 

= 24

 

 

î2x1

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

1

 

 

 

 

 

 

ì x1 − 3x2 − 4x3 = 4

 

 

ì 3x1 + 2x2 + 4x3 = 6

15.

ï

 

 

+ x2

- 3x3 = -1

16.

ï

 

 

 

 

 

 

= 6

í2x1

í 4x1 - 3x2 - 8x3

 

 

ï

3x1

- 2x2 + x3

= 11

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

= -8

 

 

î

 

 

î2x1 + 10x2 + 8x3

 

 

ì 2x1 − x

2 − x3 = 4

 

 

ì x1 + 4x2 − x3 = 2

17.

ï

 

 

+ 4x2 - 2x3 = 11

18.

ï

 

 

 

 

 

 

 

í3x1

í3x1 + 2x2 + 2x3 = 1

 

 

ï

 

 

- 2x2 + 4x3 = 11

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î3x1

 

 

î6x1 + 4x2 - 2x3 = 5

 

 

ìx1 + 2x2 + 4x3 = 31

 

 

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 2

19.

ï

 

 

+ x2 + 2x3 = 29

20.

ï

 

 

 

 

= 3

í5x1

í3x1 + x2 + 2x3

 

 

ï

3x1 - x2

+ x3 = 10

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

î2x1 + 3x2 + x3 = 1

 

 

 

 

10

 

 

 

 

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 5

 

ìx1 + 3x2 + 2x3 − 4 = 0

21.

ï

+ x2 + 2x3

= 6

22.

ï

+ 6x2

+ x3 - 2 = 0

í3x1

í2x1

 

ï

+ 3x2 + x3

= 1

 

ï

+ 8x2

- x3 - 2 = 0

 

î2x1

 

î4x1

ì x1 + x2 + 2x3 = −1

23.ïí2x1 - x2 + 2x3 = -4 ïî4x1 + x2 + 4x3 = -2

Соседние файлы в папке Вопросы к экзаменам