uchebnik10

членов совокупности, деленную на их общее число:

общее число вариант, или объем данной совокупности.

Когда отдельные варианты повторяются, среднюю арифме­

тическую вычисляют по формуле

зыает формула (5), служат частоты вариант fi'

При объединении групповых средних их весами будут объ­ емы групп ni, по которым эти средние вычислены. Общую

(взвешенную) среднюю арифметическую нескольких однород­

ных групп определяют по формуле

же показатель для ДРУГОй группы мужчин того же возраста

(n2=20) составил 64,9%. Нужно определить среднюю арнфме-

.:rическую из этих двух средннх. Если бы выборки были равно­

великими, задача решалась бы просто.... : путем деления cyMMы

частных средних на их число, т. е. х= (69,8+64,9): 2=67,35~

~67,4%. При разных объемах выборок такой расчет оказыва­

ется неточным, так как не учитываются веса частных средних.

Взвешенная средняя будет равна

Х= 30·69,8 + 20·64.9 =67,84 ~б7,8 %. 30+ 20

Средняя арифметическая -одна из основных характеристик

варьирующих объектов. Она обладает рядом важных свойств.

1. Если каждую варианту статистической совокупности

уменьшить или увеличить на некоторое произвольно взятое по­

лОжительное число А, то и средняя уменьшится или увеличит­

Отсюда Х=Х*+А. Это означает, что среднюю х можно вычис-

39

JIЯТЬ по уменьшенным на А членам выборки, прибавив к полу­

ченной величине вычтенное из вариант число А.

Пример 2. Имеются следующие шесть вариант: 7, 9, 15, 10,

11,8. Средняя х=(1/6) (7+9+15+10+11+8)=60/6=10. Выч­

личине А=7, получим Х=3+7=10.

2. Если каждую варианту разделить или умножить на какое­ либо одно и то же число А, то средняя арифметическая изме­

нится во столько же раз.

предварительно уменьшив каждую варианту в А раз, а затем

умножив полученный результат на А, т. е. х=х*.

Пример 3. Разделим каждую варианту данной совокупности

на 2 и вычислим среднюю арифметическую:

х*=(1/6) (3,5+4,5+ 7,5+5,0+5,5-: 4,0)=30/6= 5.

Умножив полученную величину на А=2, находим х=5·2=10.

3. Сумма произведений отклонений вариант от их средней

арифметической на соответствующие им частоты равна нулю 1.

Доказательство: IIf/ (х/-х)l=~ f/x i -x"2:f/=xn -хn=о.

Пример 4. Выше найдено, что средняя из совокупности шес­

ти вариант -7, 9, 15, 10, 11 и 8 - равна 10. Определим сумму отклонений вариант от этой средней: (7--10)+(9--10)+(15--

-10)+ (10-10)+ (11--10)+ (8-10) =--6+6=0.

4. Сумма квадратов отклонений вариант от их средней х

меньше суммы квадратов отклонений тех же вариант от лю­

бой другой величины А, не равной х, т. е.

~ (х/- х)2 <~(x/- А)2.

Пример 5. Найдем сумму квадратов отклонений каждого

члена данной совокупности от их средней х, равной 10: ~ (Xi-

-х)2= (7--10) 2+ (9--10)2+ (15--10)2+ (10--10)2+ (11-10)2 + +(8-10)2=9+1+25+1+4=40. Теперь отыщем сумму квад­

ратов отклонений тех же вариант от А, равного 8: (7-8)2+

+(9-8)2+ ... +(8--8)2=64.

Рассмотренные свойства средней арифметической позволя­ ют преобразовывать многозначные и дробные числа, что облег-

1 Под отклонением понимают разность между отдельными вариантами и их средней величиной, т, е, (Xi-X).

40

чает работу по вычислению статистических характеристик (см. табл. 9).

Средняя гармоническая Xh. Эту характеристику в отличие

от средней арифметической, представляющей сумму вариант,

отнесенную к нх числу, определяют как сумму обратных зна­

чений вариант, деленную на их число. для определения прос­

той и взвешенной средней гармонической применяют формулы

(7б)

в которых n - число произведенных наблюдений; Xi - значения

вариант; fi - частоты.

Чтобы уяснить суть средней гармонической, удобнее начать

с рассмотрения соответствующих конкретных данных.

Пример б. Пять доярок в течение 1 ч (60 мин) надоили

следующее количество молока: первая - 1О л, вторая - 20,

третья - 25, четвертая - 30 и пятая - 20 л; всего 105 л за 1 ч.

Оценим эти итоги с помощью Х и Xh. Получим следующие ре­

зультаты: х= (10+20+25+30+20) :5=21 л;

средних верна? Возвращаясь к примеру, можно отметить, что, используя Х, можно легко определить общее количество надоен­

ного пятью доярками молока: 21· 5= 105 л. Попробуем с по­

мощью Х вычислить время, затраченное в среднем одной дояр­

кой на выдаивание 1 л молока. Получим результат: 60/21== ==2,86 мин/л. Верно ли это? Проверим результат: первая до­ ярка на выдаивание 1 л молока затратила 60/10=6 мин, вто­

рая - 60/20= 3, третья - 2,4, четвертая - 2, пятая - 3 мин.

В среднем получается (6+3+2,4+2+3)/5= 16,4/5=3,38 мин/л.

Видно, что средняя арифметическая непригодна для определе­

ния среднего времени, затрачиваемого на выдаивание 1 л мо­

лока. Другой результат получается с применением средней гар­ монической: 60: 18,31=3,28 мин/л. Это точный результат.

ИЗ приведенного примера видно, что средняя гармоническая

применяется тогда, когда результаты наблюдений обнаружива­ ют обратную зависимость, заданы обратными значениями ва­

. риант.

Средняя квадратическая Xq• Для более точной числовой ха­

рактеристики мер площади применяется средняя квадратиче­

41

Пример 7. Измеряли площадь корзинок у десяти наугад

отобранных растений подсолнечника. Результаты измерений

распределились следующим образом:

Определим средний размер этого признака. Предваритель­

но находим ~(fixi2)=1·502+1·952+2.1302+3·1752+2·2002+

+ 1·2202=265600. Отсюда Xq=265 600/10= 163,0 см2 • Средняя

арифметическая в таких случаях оказывается меньше средней

ных признаков более точной является средняя кубическая, опре­

деляемая по формулам

Пример 8. Измеряли объем наугад отобранных 18 куриных

яиц (учитывали полусумму большого и малого диаметра). Ре­

Определим средний объем яиц по их диаметрам. Предвари-

тельно вычислим

!.flx~=2 (4,7)3+4(4,8)3+ 6 (5,0)3+3 (5,4)3+2 (5,6)3+ 1(6,0)3=

=2419,638.

Отсюда xQ==-V2419,638/18=VГI34,42=5,12.

Средняя геометрическая Хк. Этот показатель представляет собой корень n-й степени из произведений членов ряда Хк==

==уХ1Х2ХЗ'" Хn, где n - объем совокупности; при этом Xi>O.

Так, средняя геометрическая чисел 5, 8 и 25 равна

X q =}l5.8.25=}l1000= 10.

Обычно среднюю геометрическую вычисляют с помощью де­

сятичных логарифмов по следующим рабочим формулам:

42

J?ОРМУЛУ (10) применяют для вычисления средней геометриче­

~кой из абсолютных прибавок величины признака; формула

11) служит для вычисления средней геометрической из относи­ 'ельных прибавок величины признака за равные промежутки iремени, а формулу (12) используют для вычисления средней сеометрической по разности между конечной ХК и начальной Хн

Iрибавками величины признака.

Прuмер 9. По данным Дональдсона, масса тела лаборатор­

Определим среднюю геометрическую из абсолютных недель­ IЫХ прибавок массы тела мышей за первые девять недель их

кизни: Ig Xlf= 7 ,~8892 =О,95861,откуда Xg=8,9 г. Средняя гео-

,tетрическая из абсолютных прибавок массы тела мышей ока­ ,ывается меньше средней арифметической: х=77/8=9,6 г. Так

~aK средняя геометрическая характеризует ряды динамики,

.бычно ее вычисляют не из абсолютных, а из относительных lрибавок величины признака за определенные равные проме-

I Если собранные данные распределяются в интервальный варнационный

IЯД, среднюю геометрическую определяют по центральным значенням клас­

овых ннтервалов, как И другие степенные средние,

43

Когда известны лишь два крайних значения изменяющегося

во времени признака: начальная (базисная) и конечная вели­

чины, - среднюю геометрическую вычисляют по формуле (12).

тате пятилетнего отбора (1936-1940) длина волокна у гибрид­

ного сорта хлопчатника увеличилась с 26,3 до 31,0 мм. Опреде­

лим по формуле (12) среднегодовой эффект селекции этого

признака:

IgXg =(l/5) (lg 31,0-lg 26,3)=0,01428.

убедиться, если последовательно перемножить средний прирост величины признака за учитываемый период времени начиная с базисной величины. Так, в рассмотренном примере 9 конечную

величину признака (хк=87 г) находят в результате следующе­

го расчета: 10·I,310·1,310·I,310·1,310·1,310·1,310·I,310·I,310X

Х1,310=87. Проверим этим способом точность средней арифме­

тической (х= 1,313): 10·1,313·1,313·1,313·1,313·1,313'1,313 Х

Х1,313·1,313=88,3. При сравнении первого результата со вто­

рым видно, что средняя геометрическая более точно характери­

зует динамику явления, чем средняя арифметическая.

Однако средняя геометрическая, как правило, незначительно отличается по величине от средней арифметической. К тому же

вычисление средней арифметической проще, чем средней гео­

метрической. Поэтому вместо средней геометрической в качест­

ве приближенной характеристики темпов динамики нередко ис­ пользуют среднюю арифметическую. При этом приходится учи­

тывать и то, что средняя геометрическая дает хорошие (не иска­

женные) результаты лишь при наличии геометрической прогрес­

сии, заложенной в самой динамике явления. Это обстоятельство несколько ограничивает область применения средней геометри­

ческой, которую вычисляют обычно в прогностических целях и при определении средних прибавок массы или размеров тела,

В заключение обзора степенных средних необходимо отме­

тить, что между ними существуют определенные соотношения,

44

выражаемые следующим рядом мажорантностu (неравенства) :

XQ>Xq>X>Xg>Xh.

11.2. ПОКАЭАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Средние велиqины не являются универсальными характери­ стиками варьирующих объектов. При одинаковых средних при­

знаки могут отличаться по величине и характеру варьирования.

Поэтому наряду со средними для характеристики варьирующих

признаков используют и nоказатели вариации. Одним из таких

показателей являются лимиты (от лат. limes - предел), обозна­

чаемые символом lim. В биометрии под этим термином понима­

ют знаqения минимальной Хm!п И максимальной Хmах вариант

совокупности.

Размах вариации R. Это показатель, представляющий собой

вокупности, т. е. R=xmax-Xm!n. Чем сильнее варьирует признак,

тем больше размах вариации, и, наоборот, чем слабее вариация

признака, тем меньше будет размах вариации.

Лимиты и размах вариации - простые и наглядные характе­

ристики варьирования, однако им присущи существенные недо­

статки: при повторных измерениях одного и того же группового

объекта они могут знаqительно изменяться; кроме того, они не

отражают существенные qepTbl варьирования, qTO можно пока­

зать на следующем при мере.

Возьмем два ряда распределения с одним и тем же весом

входящих в их состав вариант, равиым единице:

ПО qислу вариант (n=9), лимитам и размаху вариации эти

ряды не отлиqаются друг от друга; их средние также равны

между собой. Отлиqает их друг от друга характер варьирова­

ния, но эта особенность никак не отражается на лимитах и раз­

махе вариации.

Более удобной характеристикой вариации мог бы служить

показатель, который строится на основании отклонений вариант

от их средней, т. е. IXi-хl =d. Сумма таких отклонений, взя­

тая без yqeTa знаков и отнесенная к qислу наблюдений n, назы-

если взять суммы отклонений вариант от их средней (х=30)

для первого Хl и второго Х2 приведенных здесь рядов, то полу­

чаются следующие результаты:

45

Отсюда a1 =lOO/9=11,l н а2=48/9=5,Э. Таким образом, в пер­

вом случае варьированне сильнее, чем во втором.

Дисперсия и ее свойства 52, а2• Несмотря на явное преиму­

щество среднего линейного отклонения перед лимитамн И раз­

махом варнации, этот показатель не получил широкого приме­

нения в биометрии. Наиболее подходящим оказался показатель,

построенный не на отклонениях вариант от их средних, а на квадратах этих отклонений, его называют дисперсией (от лат.

рнант Xi от их средней х на веса или частоты f/ этих отклоне­ ний в пределах от первого до k-ro класса; n - общее число на­

блюденнЙ. Индекс Х у символа дисперсин обозначает, что этот

показатель характеризует варьирование числовых значений

признака вокруг их средней величины.

Ценность дисперсии заключается в том, что, являясь мерой

варьирования числовых значении• признака вокруг их среднеи•

арифметической, она измеряет и внутреннюю изменчивость зна­ чений признака, зависящую от разностей между наблюдениями.

Преимущество дисперсии перед другими показателями вариа­

ции состоит также и в том, что она разлагается на составные

компоненты, позволяя тем самым оценивать влияние различных

факторов на величину учитываемого признака.

Вместе с тем установлено, что рассчитываемая по формуле (13) дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему

генеральному параметру на величину, равную n/ (n-l). Чтобы получить несмещенную дисперсию, нужно в формулу (13) вве­

сти в качестве множителя поправку на смещенность, называе­

мую поправкой Бесселя. В результате формула (13) преобразу-

I Р. Фишер иазвал эту характеристику «вариаисоЙ:. (от аигл. variance-

изменение) вместо математического термииа «дисперсия», который биомет­

рики (Н. А. Плохинский, 1970; и др.) стали применять для обозначеиия сум­

мы квадратов отклонений. Так ВОЗник разнобой в терминах математики и био­ метрии, что весьма нежелательно. Чтобы избежать указаниого разнобоя в на­

стоящем руководстве не делается различия между термииами «варианса:. и

«дисперсия:., под которыми понимают средиий квадрат отклоиеиий, а для

обозиачения суммы квадратов отклоиеиий вводится предложеиный Дж. Юлом

и М. Кендэлом (1960) термин «девиата» (от лат, deviatio - отклоиеиие от че­

го-либо) ,

46

"

: ется с.nедующим образом:

Разность n-l, обозначаемую в дальнейшем строчной буквой

.патинекого алфавита k, называют числом степеней свободы, под которым понимают число свободно варьирующих единиц в со­

ставе численно ограниченной статистической совокупности.

Так, еслн совокупность состоит из n-го числа членов и ха­

рактеризуется средней величиной Х, то любой ч.nен этой сово­

купности может иметь какое угодно значение, не изменяя при

этом среднюю Х, кроме одной варианты, значение КОТОрой опре­

.дe.nяется разностью между суммой значений всех остальных

вариант и величиной nХ. Следовательно, одна варианта чис.nен­ но ограниченной статистической совокупности не имеет свободы

вариации. Отсюда число степеней свободы д.nя такой совокуп­ ности будет равно ее объему n без единнцы, т. е. k=n-l. А при наличии не одного, а нескольких ограничений свободы ва­

риации число степеней свободы вариации будет равно k=n-'\I, rAe 'V (греческая буква ню) обозначает число ограничений сво­ (Sоды вариации.

Дисперсня обладает рядом важных свойств, из которых не­

'()бходимо отметить следующие.

1. Если каждую варнанту совокупности уменьшить или уве­ iJIИЧИТЬ на одно и то же постоянное число А, то дисперсия не

Jlзменится:

шести вариант: 7, 9, 15, 10, 11, 8. Характеристики этой совокуп­

Отсюда следует, что дисперсию можно вычислить не только

по значениям варьирующего признака, но и ПО их отклонениям

от какой-либо постоянной величины А.

2. Если каждую варианту совокупности разде'nИТЬ или ум­ ножить иа одно и то же постоянное число А, то днсперсия

,уменьшится или уве,nичнтся в А2 раз.

47

Доказательство:

Прuмер 12. Проиллюстрируем это свойство на том же прl-!­

Из этого свойства следует, что при наличии в совокупноеТl_

многозначных вариант их можно сократить на какое-то постоя!'

ное чнсло А и по результатам вычислить дисперсию. Затем пе·

лученную величину умножить на квадрат общего делителя A~ что и даст искомую величнну дисперсии. Так, в данном случа!'-

5х2 =2·22 =8.

На основании математических свойств средней арифметич!:

ской и дисперсии нетрудно составить сводку правил по преоБР2

зованию многозначных и дробных чисел, которую полезно и'·

пользовать при обработке биометрических данных (табл. 9).

в этой таблице А - произвольно взятое число, обычно бли~· кое к величине минимальной варианты Xmln; К - произвольнс~

число, позволяющее преобразовывать дробные числа; Х - o~

дельные числовые значения признака, т. е. варианты.

Следует также иметь в внду, что вместо ~ (Xi--х) 2 можн(

использовать

~x~ _(~:1)2; n[~nX~ _(1::1)2]: ~x2-nx2.

48