3.3. Декартовое произведение множеств.

Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}.

Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение:

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где аА, bB.

Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться .

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Дана формула алгебры логики: .

Требуется:

1. при помощи равносильных преобразований упростить формулу;

2. построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.

Решение.

1). Упростим заданную формулу, используя принятый порядок выполнения операций . Сначала выразим импликации через дизъюнкции согласно формуле 12 основных равносильностей:

x  y º Ú y x   y º Ú ( y), y  z º Ú z,

затем используем формулы 16, 11 и 21:

x  y º y  x  y º y , Ú z º z Ú,

x  (y  x) º x Ú (y )º ,

x  (y  z) º (x  y)  (x  z) (z Ú) (z Ú) º z Ú (),

откуда получаем: º

.

2). Построим РКС для исходной формулы А, используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:

– конъюнкции  y соответствует последовательное соединение элементов и y;

– импликации x   y соответствует параллельное соединение элементов и ( y);

дизъюнкции z Ú (x   y) соответствует параллельное соединение элементов z и (x   y);

– импликации y  z соответствует параллельное соединение элементов иz;

– конъюнкции соответствует последовательное соединение элементов (z Ú (x   y)) и (y  z).

Построим РКС для упрощенной формулы : конъюнкции соответствует последовательное соединение элементов и , а дизъюнкцииz Ú () соответствует параллельное соединение элементовz и ().

Полученные в результате РКС изобразим на рис. 5.

Ответы:

1. результат упрощения формулы A: ;

2. РКС, соответствующие исходной формуле А и упрощенной формуле А₀ приведены на рис. 5.

Задача 2. Дана булева функция f (x, y) = (x  y)  (x ). Составить таблицу значений функции и указать значениеf (0, 1).

Решение. Известно, что порядок выполнения операций определен следующим образом: . Используя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации составим вспомогательную таблицу значений каждой из операций функцииf (x, y).

x	y	x  y			x 	x 	x 	(x  y) (x )
1	1	1	0	0	0	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	0	0	1	0	0
0	0	0	1	1	0	1	1	1

Составим таблицу значений функции f (x, y):

x	y	f (x, y) = (x  y)(x )
1	1	1
1	0	1
0	1	0
0	0	1

По таблице значений функции найдем значение f (0, 1), соответствующее значениям аргументов x = 0, y = 1 (третья строка): f (0, 1) = 0.

Ответы: таблица значений функции приведена выше; f (0, 1) = 0.

Задача 3. Составить список дуг ориентированного графа, изображенного на рисунке 6. Сформировать матрицу инцидентности и матрицу смежности этого орграфа.

Решение.

1. Для составления списка дуг орграфа G составим вспомогательную таблицу, каждая строка которой соответствует одной дуге. В строке записываем обозначение дуги и номера вершин, инцидентных этой дуге, причем сначала указываем начальную вершину, затем – конечную, т.к. граф ориентированный.

Дуга	Вершины
x1	v2, v1
x2	v2, v3
x3	v1, v4
x4	v4, v1
x5	v2, v4

Получаем список дуг орграфа:

X = {(v₂, v₁), (v₂, v₃), (v₁, v₄), (v₄, v₁), (v₂, v₄)}.

2. Для построения матрицы инцидентности орграфа G составим таблицу, используя формулы (1). Заполняем таблицу по столбцам, соответствующим дугам орграфа: в j-м столбце ставим i-й строке «–1», если вершина v_i является началом дуги х_j, ставим «1», если вершина v_i является концом дуги х_j и ставим «0», если вершина v_i и дуга х_j не инцидентны.

При заполнении таблицы можно использовать список дуг орграфа.

	x1	x2	x3	x4	x5	Получили матрицу инцидентности: В(G2) = .
v1	1	0	–1	1	0
v2	–1	–1	0	0	–1
v3	0	1	0	0	0
v4	0	0	1	–1	1

3. Для построения матрицы смежности орграфа Gсоставим таблицу, используя формулы (2). Так как графGориентированный, то элемент матрицыa_ijравен количеству ребер с началом вi-й вершине, а концом вj-й вершине.

	v1	v2	v3	v4	Получили матрицу смежности A(G) =
v1	0	0	0	1
v2	1	0	1	1
v3	0	0	0	0
v4	1	0	0	0

Ответы: список дуг орграфа X = {(v₂, v₁), (v₂, v₃), (v₁, v₄), (v₄, v₁), (v₂, v₄)};

матрица инцидентности и матрица смежности:

В(G) = ;A(G) = .

Задача 4. Даны два множества A={5,6} и B={1,2,3}. Требуется:

Найти их декартовое произведение.

Решение.

.