![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Введение
- •Задания на контрольную работу по теме «Элементы функционального анализа. Вариационное исчисление и оптимальное управление»
- •Содержание теоретического материала и ссылки на литературу
- •Справочный материал к выполнению контрольной
- •1. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве
- •1.2. Экстремумы функционала
- •2. Оптимальное управление
- •2.1. Математическая модель системы управления
- •2.2. Оптимальное управление динамической системой
- •2.3. Принцип максимума Понтрягина
- •Решение примерного варианта контрольной работы
- •Рекомендуемая литература
Решение примерного варианта контрольной работы
Задача
1 Дан
функционал
.
Найти экстремали функционала,
удовлетворяющие граничным условиямy(0)
= –1, y(π)
= 0.
Решение.
Запишем уравнение Эйлера
=
0 для данного функционала.
Для
подынтегральной функции
получаем частные производные:
.
Тогда
уравнение Эйлера имеет вид:
или
– простейшее дифференциальное уравнение
второго порядка. Его общее решение
получаем двукратным интегрированием:
.
Определим произвольные постоянные С1, С2 из граничных условий
Отсюда
получаем С1
= 1/π,
С2
= –1, следовательно, экстремалью
функционала является функция
.
Ответ.
.
Задача
2. Дана
модель объекта управления, описываемая
системой дифференциальных уравнений
и граничными условиямиx1(0)
= 0, x2(0)
= 3, x1(3)
= 2, x2(3)
= –1,
где t
– время
(t
[0;3]),
–
фазовый вектор (траектория объекта),
u(t)
–
функция
управления
объектом.
Требуется
найти оптимальное управление объектом
u*(t)
и соответствующую ему оптимальную
траекторию
,
если задан критерий качества управления:
Решение.
Введем вспомогательный вектор
, где
– неизвестные функции, и построим гамильтониан данной задачи:
=
,
где
функции
– это
правые части дифференциальных уравнений
а
– подынтегральная
функция критерия качества управления
.
По
условию задачи
Отсюда
получаем
=
.
2.
Находим максимум гамильтониана по
управлению:
,
– критическая
точка. Вторая производная
,
следовательно, при
достигается максимум гамильтониана по
управлению.
3.
Составим каноническую систему
дифференциальных уравнений, подставив
в формулу (8)
и частные производные гамильтониана
,
и решим эту систему. Каноническая система
имеет вид:
Общее решение системы находим последовательным интегрированием:
.
Найдем частное решение системы, удовлетворяющее граничным условиям x1(0) = 0, x2(0) = 3, x1(3) = 2, x2(3) = –1.
Из
первых двух условий получаем:
Подставив
эти значения в другие два условия
получаем:
Вычитая
из 1-го уравнения 2-е, получаем
,
затем
Подставив найденные значения констант, получим оптимальную траекторию и оптимальное управление:
Ответы:
оптимальная траектория
,
где
;
оптимальное управление
Рекомендуемая литература
Карташев А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский.– М.: Наука, 1986.– 288 с.
Краснов М. Л. Вариационное исчисление. / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев.– М.: Наука, 1973.–192 с.
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.
Сборник задач по математике для втузов: специальные курсы. (Ч. 3). Под ред. А. В. Ефимова. / Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В. Н. Земсков и др.– М.: Наука, 1984.– 608 с.
Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский.– М.: Высш. шк., 2003.– 583 с.