MatAnDetInt2

21

пределам соответствующих интегральных сумм. Таким образом получаем окончательно

aa

где S длина кривой AB.

где правая часть есть площадь поверхности, полученной при вращении кривой AB вокруг оси Ox, а 2πyc есть длина окружности радиуса yc.

Таким образом, имеет место

Теорема 7.14 (Первая теорема Гульдена). Площадь поверхности тела, полученного при вращении плоской кривой вокруг некоторой не пересекающей ее оси, расположенной в той же плоскости, равна длине окружности, описанной центром тяжести кривой, умноженной на длину этой кривой.

Пример. Найти координаты центра тяжести полуокружности x2 + y2 = a2, y > 0.

22

где ξk средняя точка [xk−1, xk]. Масса прямоугольника равна ρ · f(ξk)Δxk

(ρ есть поверхностная плотность, т. е. масса, приходящаяся на единицу площади). Из механики известно, что центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей и, следовательно, координаты центра тяжести k-го прямоугольника равны ξk, 12f(ξk). Будем считать, что масса этого прямоугольника находится в точке Pk(ξk, 12f(ξk)). Таким образом, трапецию можно приближенно заменить системой материальных точек P1, P2, . . . , Pn с массами ρf(ξ1)Δx1, ρf(ξ2)Δx2,. . . , ρf(ξn)Δxn, и, следовательно, используя равенства (28), получим приближенные равенства

23

Переходя к пределу в последних равенствах при λ → 0, получаем окончательно

a

которое формулируется так

Теорема 7.15 (Вторая теорема Гульдена). Объем тела вращения криволинейной трапеции вокруг не пересекающей ее оси, расположенной в той же плоскости, равен площади этой трапеции, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести трапеции при этом вращении.

4) Центр тяжести неоднородного стержня.

Разбивая, как всегда, сегмент [a, b] на части (см. I), массу mk части стержня [xk−1, xk] найдем по формуле (27)

xk

Z

mk = ρ(x) dx = ρ(ξk)(xk − xk−1) = ρ(ξk)Δxk

xk−1

(здесь мы воспользовались теоремой о среднем, ξk некоторая точка сегмента [xk−1, xk]). Будем считать, что эта масса сосредоточена именно в точке Pk(ξk). Таким образом мы вновь получаем систему точек на стержне

25

Литература

[1]Ильин В. А., Поздняк Э. П. Основы математического анализа. М.: Наука, 1967.

[2]Щипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.

[3]Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу (для втузов). М.: Астрель-АСТ, 2002.

[4]Гаврилова Р. М., Говорухина А. А., Карташева Л. В., Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.