MatAnDetInt2

11

Если функции ϕ(t), ψ(t), g(t) непрерывно-дифференцируемы на [α, β], то

β

Z

p

L = ϕ02(t) + ψ02(t) + g02(t) dt.

α

III. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла.

1) Вычисление объема по заданной площади поперечного сечения.

Рассмотрим некоторое тело T . Возьмем произвольное x и проведем плоскость, перпендикулярно оси Ox. В сечении получим плоскую фигуру. Предположим, что площадь этой фигуры S(x) нам известна и функция

S(x) непрерывна на сегменте [a, b]. Найдем объем этого тела T .

Разобьем сегмент [a, b] произвольно на n частей a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn. Через каждую точку деления xk проведем плоскость перпендикулярную оси Ox. При этом все тело T разобьется на определенные элементарные слои, вычислим приближенно объем Vk одного слоя. Для этого выберем произвольную точку ξk [xk−1, xk] и проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную оси Ox. Площадь плоской фигуры, полученной в сечении, равна S(ξk). Заменим теперь элементарный слой цилиндром с основанием, площадь которого есть S(ξk), и высотой

xk = xk − xk−1. Тогда Vk ≈ S(ξk)Δxk и, следовательно,

n

X

V ≈ S(ξk)Δxk.

k=1

Полученная сумма есть, очевидно, интегральная сумма, составленная для непрерывной функции S(x), x [a, b]. Следовательно эта интегральная сумма имеет конечный предел при λ = max xk → 0, независящий ни от способа разбиения [a, b] ни от выбора точек ξk. Итак, окончательно

a

12

2) Объем тела вращения.

Пусть функция y = f(x) непрерывна и неотрицательна на [a, b]. Вычислим объем тела, полученного в результате вращения кривой, заданной уравнением y = f(x) вокруг оси Ox. Очевидно, что эта задача является

частным случаем уже

a

Замечание. Аналогично можно получить формулу для вычисления объема тела вращения вокруг оси Ox:

c

IV. Площадь поверхности вращения.

Рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой y = f(x)

(функция y = f(x) > 0 непрерывно-дифференцируемая на [a, b]) вокруг оси Ox. Найдем площадь поверхности вращения. Сначала выясним, что будем понимать под площадью поверхности вращения тела.

Разобьем сегмент [a, b] произвольным образом на n частей

a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b.

Рассмотрим для простоты одно звено ломаной Mk−1Mk. При враще-

Определение 7.6. Если существует конечный предел Pn при

λ = max xk → 0, то его назовем площадью поверхности тела вращения

16k6n

и обозначим P :

Теорема 7.13. Если функция y = f(x) непрерывно-дифференцируема на

[a, b], то площадь поверхности тела вращения P вычисляется по формуле

Доказательство. Разобьем [a, b] произвольно на n частей. Согласно (25) составим Pn

n n

Pn = 2π X yk−1 + yk `k = 2π X f(xk−1) + f(xk) `k.

2 2

14

Очевидно

Очевидно, что последнее слагаемое есть интегральная сумма, составленная для функции 2πf(x) · 1 + [f0(x)]2. Покажем, что первые два слагаемых

ражения Pn при λ → 0, мы получим формулу (26). Теорема доказана.

15

Замечание. 1) Если поверхность получена вращением вокруг оси Ox кривой AB, заданной параметрически уравнениями x = ϕ(t), y = ψ(t), α 6 t 6 β, причем ψ(t) > 0 и a 6 ϕ(t) 6 b при α 6 t 6 β, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, то делая замену переменных в (26) x = ϕ(t), имеем

2) Если кривая AB задана в полярных координатах r = r(ϕ), ϕ

[α, β], где r(ϕ) непрерывно-дифференцируемая на [α, β], то это сводится к параметрическому заданию кривой x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, α 6 ϕ 6

β и значит,

β

Z

p

POx = 2π r(ϕ) sin ϕ r02(ϕ) + r2(ϕ) dϕ.

α

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих понятие определенного интеграла.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 3x2 +2y −4 = 0

Пример 2. Найти площадь, ограниченную первой аркой аркой циклоиды