ЭММ_методичка_ч_1

Получили такое соответствие между переменными сопряженных задач:

Следующая теорема в литературе, как правило, имеет название теоремы о дополняющей нежесткость.

Теорема (вторая теорема двойственности для симметричных задач). Для того, чтобы планы X* и Y* соответствующих сопряженных задач были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия дополняющей нежесткости:

Очевиднее взаимосвязь между оптимальными планами прямой и двойственной задач устанавливает следствие второй теоремы двойственности.

Следствие. Если в результате подстановки оптимального плана одной из задач (прямой или двойственной) в систему ограничений этой задачи i-тое ограничение выполняется как строгая неравенство, то соответствующая i-тая компонента оптимального плана сопряженной задачи равняется нулю.

Если i-тая компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее i-тое ограничение сопряженной задачи выполняется для оптимального плана как уравнение.

Экономическое содержание второй теоремы двойственности относительно оптимального плана Х* прямой задачи. Если для изготовления всей продукции в объеме, который определяется оптимальным планом Х*, затраты одного i-того ресурса

строго меньши его общего объем bi , то соответствующая оценка такого ресурса yi

43

(компонента оптимального плана двойственной задачи) будет равнять нулю, т.е. такой ресурс при данных условиях для производства не является «ценным».

Если же затраты ресурса равняются его имеющемуся объему bi , т.е. его

использовано полностью, то он есть «ценным» для производства, и его оценка yi будет строго больше нуля.

Экономическое толкование второй теоремы двойственности относительно оптимального плана Y* двойственной задачи: в случае, если некоторое j-тое

ограничение выполняется как неравенство, т.е. все затраты на производство единицы j- го вида продукции превышают его цену сj, производство такого вида продукции есть

нецелесообразным, и в оптимальном плане прямой задачи объем такой продукции x j равняется нулю.

Если затраты на производство j-го вида продукции равняются цене единицы продукции c j , то ее необходимо изготовлять в объеме, который определяется

Существование двойственных переменных делает возможным сопоставление затрат на производство и цен на продукцию, на основании чего обосновывается вывод о целесообразности или нецелесообразности производства каждого вида продукции. Кроме этого, значение двойственной оценки характеризует изменение значения целевой функции, которая обусловлена малыми изменениями свободного члена соответствующего ограничения. Данное утверждение формулируется в виде такой теоремы.

Двойственные оценки являются уникальным инструментом, который дает возможность сопоставлять несравнимые вещи. Очевидно, что невозможным есть простое сопоставление величин, которые имеют разные единицы измерения. Если взять в качестве примера производственную задачу, то интересными есть вопросы: как будет изменяться значение целевой функции (может измеряться в денежных единицах) за изменения объемов разных ресурсов (могут измеряться в тоннах, м2, люд./ч, га и т.п.).

Используя третью теорему двойственности, можно легко определить влияние на смену значения целевой функции увеличения или уменьшение объемов отдельных ресурсов: числовые значения двойственных оценок показывают, на какую величину

44

изменяется целевая функция при изменении объема соответствующего данной оценке

Лабораторная работа 3

Тема: Теория двойственности и анализ линейных моделей оптимизационных задач. Решение с помощью симплексного метода (М-метода) и Excel прямой и двойственной задачи.

Цель: Приобрести навыки для построения математических моделей сопряженных задач, внесение моделей в лист Excel, использование матричных функций для расчета транспонированной матрицы, умножения матриц при составлении двойственной задачи. Научиться решать прямую и двойсивенноу задачу двумя способами: симплексным методом (М-методом) и с помощью Solver.

На предприятии производятся продукты четырех видов, для этого процесса используются ресурсы трех видов ( фонд заработной платы, средства производства, транспортные затраты). Ресурсы ограничены соответственно 20 у.е, 80 у.е, 200 у.е. Расходы ресурсов на производство продуктов представлены в таблице.

45

Продукты продаются по цене 20 у.е, 40 у.е, 30 у.е, 10 у.е. соответственно. Организовать производство необходимо таким образом, чтобы прибыль была максимальной. Определить альтернативные цены на ресурсы, при которых выгоднее продать сырье, чем производить продукцию

Математическая модель задачи имеет вид:

Целевая функция: Zmax 20x0 40x1 30x2 10x3

Задание1.

Организация рабочего листа имеет вид (рис3.1):

46

Рисунок 3.1

В окне Поиск решений вводим следующую информацию: Целевая ячейка F10 ($ означает абсолютную ссылку, для установки нажимается клавиша F4), Изменяя ячейки B10, С10, D10, E10 (B10:E10), ограничения добавляются нажатием кнопки Добавить при наличии курсора в поле Ограничения.

Рисунок 3.2

50

Рисунок 3.9

В результате правильного выполнения задания получается следующее:

Рисунок 3.10