ЭММ_методичка_ч_1

31

Итак, значение компонент следующего опорного плана рассчитываются по формулам:

Разложение по начальному базису любого из векторов имеет вид:

alj

akj alk (i j).

32

Формулы (2.19) и (2.21) являются формулами полных исключений ЖорданаГаусса.

Итак, чтобы получить коэффициенты разложения векторов A0 , A1 ,..., An по

векторам нового базиса (переход к следующему опорному плану и созданию новой симплексной табл.2.2), необходимо:

1)разделить все элементы направляющей строки на разрешающий элемент;

2)рассчитать все другие элементы по формулам полных исключений Жордана-Гаусса (правило прямоугольника).

Потом необходимо осуществить проверку новых значений оценочной строки. Если все Fj – сj 0, то план Х1 — оптимальный, иначе переходят к отысканию следующего опорного плана. Процесс продолжают до получения оптимального плана, или установления факта отсутствия решения задачи.

Если в оценочной строке последней симплексной таблицы оценка Fj – сj 0 отвечает свободной (небазисной) переменной, то это означает, что задача линейного программирования имеет альтернативный оптимальный план. Получить его можно, выбирая разрешающий элемент в указанном столбике таблицы и осуществив один шаг (одну итерацию) симплекс-методом. В результате получим новый опорный план, которому отвечает то самое значение функционала, которое и для предыдущего плана, т.е. функционал достигает максимального значения в двух точках многогранника решений, а итак, по свойству решений задачи линейного программирования такая задача имеет бесконечное множество оптимальных планов.

Решение задачи линейного программирования на отыскание минимального значения функционала отличается лишь условием оптимальности опорного плана. К

симплексного метода осуществляются аналогично, как в задаче линейного программирования на отыскание максимального значения функционала.

33

Таблица 2.2 - Вторая симплексная таблица для отыскания опорного (оптимального) плана

35

1.Записать в тетради условия задач.

2.Построить математическую модель.

3.Решить задачу симплексным методом.

4.Выполнить проверку в Excel, вывести три отчета (по результатам, по устойчивости, по пределам.

5.Результаты продемонстрировать преподавателю.

6.Предоставить ответы на контрольные вопросы.

ТЕМА 3: ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Аннотация

Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач линейного программирования Правила построения двойственных задач. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание. Примеры применения теории двойственности для нахождения оптимальных планов прямой и двойственной задач.

3.1. Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач линейного

программирования

Каждая задача линейного программирования связана с другой, так называемой

двойственной задачей.

( j 1, n) необходимо изготовлять в процессе производства, чтобы максимизировать

37

Т.е. необходимо определить, какие минимальные цены можно установить для

выражают уровень «ценности» соответствующего ресурса для данного производства. Английский термин«shadow prices» в литературе переводится как «оценка» или «теневая, неявная цена». Академик Л.В.Канторович назвал их объективно обусловленными оценками соответствующего ресурса.

Задача (3.4)-(3.6) есть двойственной или сопряженной к задаче (3.1)-(3.3), которую называют прямой (основной, начальной). Понятие двойственности есть взаимным. По сути речь идет об одной и той же задаче, но с разных точек зрения. Действительно, не тяжело убедиться, что двойственная задача к (3.4)-(3.6) совпадает с начальной. Поэтому каждую из них можно считать прямой, а другую – двойственной. Симметричность двух таких задач очевидная. Как в прямой, так и в двойственной

c j ,( j 1, n) . Кроме того, вектор ограничений начальной задачи становится вектором коэффициентов целевой функции двойственной задачи и наоборот, а строки матрицы А (матрицы коэффициентов при переменных из ограничений прямой задачи) становятся столбцами матрицы коэффициентов при переменных в ограничениях двойственной задачи. Каждому ограничению начальной задачи отвечает переменная двойственной и наоборот.

Начальная постановка задачи и математическая модель может иметь вид как (3.1)-(3.3), так и (3.4)-(3.6). Итак, как правило, говорят о паре сопряженных задач линейного программирования.

3.2 Правила построения двойственных задач

Для построения двойственной задачи необходимо свести прямую задачу к стандартному виду. Считают, что задача линейного программирования представлена в стандартном виде, если для отыскания максимального значения целевой функции все неравенства ее системы ограничений приведены к виду « », а для задачи на отыскание минимального значения — к виду « ».

Если прямая задача линейного программирования представлена в стандартном виде, то двойственная задача образуется по таким правилам:

1. Каждому ограничению прямой задачи отвечает переменная двойственной задачи. Количество неизвестных двойственной задачи равняется количеству ограничений прямой задачи.

39

Процесс построения двойственной задачи удобно изобразить схематично:

Рисунок 3.1 - Схема построения двойственной задачи к прямой

Пары задач линейного программирования бывают симметричные и несимметричные.

Всимметричных задачах ограничения прямой и двойственной задач являются лишь неравенствами, а переменные обеих задач могут приобретать лишь неотрицательные значения.

Внесимметричных задачах некоторые ограничения прямой задачи могут быть уравнениями, а двойственной – лишь неравенствами. В этом случае соответствующие уравнениям переменные двойственной задачи могут приобретать любые значения, не ограниченные знаком.

40

Все возможные формы прямых задач линейного программирования и соответствующие им варианты моделей двойственных задач в матричной форме приведено ниже.

3.3 Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

Теорема (первая теорема двойственности). Если одна из пары сопряженных задач имеет оптимальный план, то и вторая задача также имеет решение, причем для оптимальных решений значения целевых функций обеих задач совпадают, т.е.

maxF min Z .

Если целевая функция одной из задач неограниченная, то сопряженная задача также не имеет решения.

Первая теорема двойственности дает возможность в процессе решения одной задачи вместе с тем находить план второй.

Экономическое содержание первой теоремы двойственности.

Максимальную прибыль (Fmax) предприятие получает при условии производства