ЭММ_методичка_ч_1

Нужно найти плановое количество продукции, чтобы после реализации стоимость произведенной продукции была максимальной.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сущность моделирования как метода научного познания.

2.Особенности и принципы математического моделирования.

3.Основные дефиниции экономико-математического моделирования.

4.Особенности экономических наблюдений и измерений.

5.Этапы экономико-математического моделирования.

6.Общая экономико-математическая модель задачи линейного программирования.

7.Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

8.Графический метод решения задач линейного программирования.

9.Использование надстройки «Поиск решений» для построения и решения задачи линейного программирования.

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

1.Записать в тетради условия задач.

2.Построить математическую модель.

3.Решить графическим методом в тетради.

4.Выполнить проверку в Excel

5.Результаты продемонстрировать преподавателю.

6.Ответить на контрольные вопросы.

ТЕМА 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Аннотация

Начальный опорный план. Переход от одного опорного плана к другому. Оптимальное решение. Критерий оптимальности плана. Решение задачи линейного программирования симплексным методом. Метод искусственного базиса.

22

Графический метод для определения оптимального плана задач линейного программирования целесообразно применять лишь для задач с двумя переменными. При большом количестве переменных необходимо применять другой метод. Из свойств решений задачи линейного программирования известно: оптимальное решение задачи должно находиться в одной из угловых точек многогранника допустимых решений. Поэтому простейший способ отыскания оптимального плана нуждается в переборе всех угловых точек (допустимых планов задачи, которые еще называют опорными). Сравнение вершин многогранника можно осуществлять только после отыскания какой-то одной из них, т.е. найдя начальный опорный план. Каждый опорный план определяется системой m линейно независимых векторов, которые содержатся в системе ограничений задачи с n векторов A1 , A2 ,..., An . Итак, общее количество опорных

которые описывают реальные экономические процессы, имеют большую размерность, и простой перебор всех опорных планов таких задач существует очень много, даже при условии применения современных ЭВМ. Поэтому необходимое использование метода, который делал бы возможным сокращение количества вычислений. 1949 года такой метод был предложен американским ученым Дж.Данцигом – так называемый симплексный метод, или симплекс-

метод.

Идея этого метода заключается в осуществлении направленного перебора допустимых планов таким образом, на каждом шагу осуществляется переход от одного опорного плана к следующему, который по значению целевой функции был бы хотя бы не худшим, чем предыдущий. Значение функционала при переходе изменяется в нужном направлении: увеличивается (для задачи на максимум), уменьшается ли (для задачи на минимум).

Процесс решения задачи симплекс-методом имеет итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры (итерации) повторяются в определенной последовательности до тех пор, пока не будет получен оптимальный план задачи или выяснено, что его не существует.

Итак, симплекс-метод - это итерационная вычислительная процедура, которая дает возможность, начиная от определенного опорного плана, через конечное количество шагов получить оптимальный план задачи линейного программирования.

23

2.1 Начальный опорный план

Рассмотрим задачу линейного программирования, записанную в

Не нарушая общности, допустим, что система уравнений содержит первые m единичных векторов. Получим:

Система ограничений (2.2) в векторной форме будет иметь вид:

x1 A1 x2 A2 ... xm Am xm 1 Am 1 ... xn An A0 ,(2.4)

где

25

максимального значения. Это означает, что функционал является неограниченным на многограннике решений.

2.2. Оптимальное решение. Критерий оптимальности плана

Симплексный метод делает возможным целенаправленный перебор опорных планов, т.е. переход от одного плана к другому, который является не хуже, чем предыдущий по значению функционала. Итак, проблемой становится выбор вектора, который необходимо вводить в базис при осуществлении итерационной процедуры симплексного метода.

Рассмотрим задачу линейного программирования (2.1)-(2.3).

Допустим, что она имеет опорные планы и они являются невырожденными. Рассмотрим начальный опорный план вида (2.5):

программирования (2.1)-(2.3).

Аналогично формулируется условие оптимальности плана задачи на отыскание минимального значения функционала: если для некоторого плана X 0

Разложение всех векторов A j ( j 1, n) в данном базисе удовлетворяют условию

Итак, для того, чтобы план задачи линейного программирования был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы его оценки j Fj c j были

неотъемлемыми для задачи на максимум и отрицательными для задачи на минимум.

2.3. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

Рассмотрим, как, исходя из начального опорного плана задачи линейного программирования, с помощью симплексного метода найти оптимальный план.

Продолжим рассмотрение задачи (2.1)-(2.3), опорный план которой X 0 x1 b1 , x2 b2 ,..., xm bm , xm 1 0,..., xn 0 . Для исследования данного плана на оптимальность (по условию оптимальности плана задачи

Все дальнейшие вычисления удобно проводить в симплексной таблице

(табл.2.1).

27

В столбце «Базис» записанные переменные, которые отвечают базисным векторам, а в столбце «Сбаз» – коэффициенты функционала соответствующих базисных векторов. В столбце «План» – начальный опорный план X 0 , в этом же

базисным векторам, которые отвечают в первой симплексной таблице коэффициентам при переменных в системе (4.2). В (m+1)-ой строке в столбце

разложения каждого j-го вектора по векторам базиса, т.е. эти значения в табл.2.1 получают как скалярное произведение:

где сi – коэффициенты функционала, которые отвечают векторам базиса.

28

Таблица 2.1 - Первая симплексная таблица для решения задач линейного программирования

29

После заполнения табл.2.1 рассчитывают значение оценок плана (последняя

согласно условию оптимальности плана задачи линейного программирования, если

оптимальным и необходимо осуществить переход к следующему опорному плану, которому будет соответствовать большему значению функционала. Если отрицательных оценок несколько, то включению в базис подлежит вектор, который

означает, что функционал является неограниченным на многограннике решений, т.е.

Соответствующий столбик симплексной таблицы называют направляющим.

Для того, чтобы выбрать вектор, который необходимо вывести из базиса (согласно процедуре перехода от одного опорного плана задачи к другому – п.4.2), рассчитывают последний столбик табл.2.1 – значение i .

му строке табл.2.1. Соответствующая строка симплексной таблицы называют

направляющим.

Пересечением направляющего столбика и направляющей строки определяется элемент симплексной таблицы alk, который называют разрешающим элементом. С помощью элемента alk и метода Жордана-Гаусса рассчитывают новую симплексную таблицу, которая будет определять следующий опорный план задачи.

Для определения нового опорного плана необходимо все векторы разложить по векторам нового базиса. Вектор Аk, который необходимо вводить в базис, в представлении по начальныму базису имеет вид:

Ak a1k A1 ... alk Al ... amk Am .

Вектор Аl выходит из базиса, и его Разложение по новому базису получим из выражения (2.16):

Разложение вектора А0 по начальному базису имеет вид:

A0 b1 A1 ... bl Al ... bm Am . (2.18)

Для записи разложения вектора в новом базисе подставим выражение (2.17) в

уравнение (2.18), имеем: