ЭММ_методичка_ч_1
.pdf
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
|
Частная производная |
F |
x2 ; |
|
F |
x; |
F |
|
1. |
|
a |
|
b |
c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
yi |
axi2 |
bxi |
c xi2 |
0 |
|||
Составим систему вида: |
yi |
axi2 |
bxi |
c xi |
0 . |
||||
|
|
yi |
axi2 |
bxi |
c 0 |
|
|||
Приведем подобные слагаемые аналогично
регрессии и обозначим M |
|
4 |
1 |
xi4;M |
|
3 |
1 |
|
x |
n |
x |
n |
|||||
|
|
|
|
тогда система примет вид:
методу получения методу линии
xi3 ;M |
|
2 y |
1 |
xi 2 yi ; |
|
x |
n |
||||
|
|
|
M x4 M x3 M x2
a 
a 
a
M x3 |
b M x2 c |
M x2 y |
||
M x2 |
b |
M x |
c |
M x y |
M x |
b |
c M y |
||
Решение последней системы дает значения параметров a, b, c для приближенной функции в виде параболы.
7.4.3. Степенная функция (геометрическая регрессия).
Уравнение линии степенной функции иногда еще называют геометрической регрессией. Покажем, что нахождение приближенных функций с двумя параметрами F(x, a, b) в виде элементарных функций может быть сведено к нахождению параметров линейной функции.
Будем искать функцию в виде: F x,a,m a xm (1)
Предположим, что любые xi |
> 0 и yi > 0. |
|
|
Прологарифмируем (1): ln F |
ln( a |
x m ); |
|
ln F |
ln a |
ln x m ; |
|
ln F |
ln a |
m ln x |
(2). |
Т. к. F – приближающая функция для f, то ln F – приближающая для ln f .
Введем новую переменную u |
ln x и обозначим m A;ln a B. (*) |
Тогда ln F - функция от u : |
( u ). |
Тогда (2) примет вид: ( u,A,B ) Au B (3),
т. е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной. Практически при нахождении приближающей степенной функции необходимо
выполнить следующие действия:
152
По исходной таблице составить новую, прологарифмировав значения х и
у.
По новой таблице найти параметры А и В для линейной функции вида
(3).
Используя введенные обозначения (*), найти а и m и подставить в
выражение (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4.4. Показательная функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть приближающая функция имеет вид: F x,a,m |
a emx ,a |
0 . |
|
|
||||||||
Прологарифмируем это равенство: ln F |
ln( a |
x mx ); |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ln F |
ln a |
ln x mx ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln F |
ln a |
m x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначения те же: m |
A;ln a |
B. ln F |
Ax |
B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т. о. алгоритм построения приближающей функции следующий: |
|
|
|
|||||||||
Прологарифмировать значения функции у в исходной таблице. |
|
|
||||||||||
Для новой таблицы с исходными значениями |
xi |
и новыми |
yi |
найти |
||||||||
параметры А и В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя введенное |
обозначение m |
|
A;ln a |
B, найти |
а |
и m, |
||||||
подставить их в формулу показательной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.4.5. Дробно – линейная функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть приближающая функция имеет вид: F x,a,b |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ax |
b |
|
|
|
||||||||
Перепишем равенство |
следующим образом: |
|
|
1 |
|
|
ax |
b . |
Отсюда |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
F x,a,b |
|
|
|
||||
следует, что для нахождения параметров а и b необходимо в исходной таблице значения xi оставить прежние, а значения yi заменить обратными числами, после чего по полученной таблице найти приближенную функцию ax+b.
7.4.6. Логарифмическая функция. |
|
Пусть приближающая функция имеет вид: F x,a,b a ln x b . |
|
Для перехода к линейной функции достаточно сделать подстановку: u |
ln x. |
Практически: |
|
в исходной таблице логарифмируем значения xi ; |
|
по новым значениям аргумента и исходным значениям yi |
находятся |
параметры а и b, которые подставляют в новое равенство. |
|
6.4.7. Гипербола. |
|
153
Если точечный график, построенный по исходной таблице, дает ветвь
гиперболы, то приближающую функцию можно искать в виде: F x,a,b |
a |
b . |
||||
|
||||||
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
Выполнив подстановку |
u |
1 |
, получим: Ф x,a,b au b . |
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
Практический алгоритм:
в исходной таблице значения аргумента следует заменить обратными числами и найти для новой таблицы приближающую функцию в виде линейной;
полученные параметры а и b подставить в исходную формулу.
7.4.8. Дробно-рациональная функция. |
|
|
|
|
Пусть приближающая функция будет иметь вид: |
1 |
a |
b |
. |
|
|
|||
|
F x,a,b |
|
x |
|
Имеем: F x,a,b a ln x b . |
|
|
|
|
Алгоритм вычисления: |
|
|
|
|
в исходной таблице значения х и у заменяем обратными величинами:
1
x
1
и y ;
по новой таблице строим функцию вида u bz a. найденные значения а и b будут искомыми.
7.5.6 Проведение регрессионного анализа средствами MS Excel.
Расчет параметров линейной регрессии с использованием функции ЛИНЕЙН.
Для линейной аппроксимации в Excel существует функция ЛИНЕЙН(изв. зн. Y, изв. зн. X, константа, статистика) она возвращает массив значений описывающих кривую вида:
Y b m1 x1 m2 x2 |
mn xn |
где изв. зн. Y – это известные значения функции
изв. зн. X – это известные значения аргументов
константа – определяет чему должно равняться b, если константа имеет значение ЛОЖЬ то b полагается равным 1, иначе b вычисляется обычным образом.
статистика – если значение равно ИСТИНА то будет представлена дополнительная регрессионная статистика, если ЛОЖЬ то нет.
Для получения линейной регрессионной зависимости, с выводом всей статистической информации следует выделить диапазон A54:С58, нажать клавишу F2, и ввести формулу =ЛИНЕЙН(P2:P38;N2:O38;1;1), после окончания ввода формулы нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter так как данная функция возвращает
154
массив значений. В результате в данных ячейках будет полная статистическая информация:
Линейная зависимость
|
0.17 |
229. |
0.645 |
6 |
123 |
|
0.03 |
94.9 |
0.039 |
8 |
69 |
|
115. |
#Н/ |
0.963 |
657 |
Д |
|
|
#Н/ |
441.156 |
34 |
Д |
118023 |
4548 |
#Н/ |
58 |
05 |
Д |
Полученные числа имеют следующий смысл:
m |
mn |
… |
b |
n |
-1 |
|
|
S |
Se |
… |
Se |
en |
n-1 |
|
b |
R |
Se |
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
F |
Df |
|
|
S |
Ss |
|
|
sreg |
resid |
|
|
Se – стандартная ошибка для коэффициента m Seb – стандартная ошибка для свободного члена b
R2 – коэффициент детерминированности, который показывает как близко уравнение описывает исходные данные. Чем ближе он к 1, тем больше сходится теоретическая зависимость и экспериментальные данные.
Sey – стандартная ошибка для y
F – критерий Фишера определяет случайная или нет взаимосвязь между зависимой и независимой переменными
Df – степень свободы системы
Ssreg – регрессионная сумма квадратов Ssresid – остаточная сумма квадратов
Аналогичным образом построим линейную регрессионную зависимость при аргументе Константа равном 0, в диапазоне E54:G58, введя формулу
=ЛИНЕЙН(P2:P38;N2:O38;0;1):
Линейная зависимость
0.1
0.728 |
46 |
0 |
|
155 |
|
|
0.0 |
# |
0.021 |
39 |
Н/Д |
0.998 |
123 |
# |
0 |
.365 |
Н/Д |
8925. |
|
# |
124 |
35 |
Н/Д |
2.7E |
532 |
# |
+08 |
666 |
Н/Д |
Расчет параметров линейной регрессии с использованием инструмента Регрессия
надстройки Пакет анализа.
Для проведения регрессионного анализа выберем пункт меню Данные/Анализ данных/Регрессия. Откроется следующее диалоговое окно:
После заполнения полей ввода нажимаем кнопку OK и получаем следующие результаты:
Регрессионная статистика
Множественный 0
R |
.981 |
|
0 |
R-квадрат |
.963 |
Нормированный |
0 |
R-квадрат |
.961 |
Стандартная |
1 |
156
ошибка |
15.657 |
3
Наблюдения 7
Дисперсионный
анализ
|
|
|
M |
|
|
Значи |
|
f |
SS |
S |
|
F |
мость F |
Ре |
|
11 |
5 |
|
44 |
4.79E |
грессия |
|
802358 |
901179 |
1.156 |
|
-25 |
Ос |
|
45 |
1 |
|
|
|
таток |
4 |
4805.4 |
3376.63 |
|
|
|
Ит |
|
12 |
|
|
|
|
ого |
6 |
257163 |
|
|
|
|
157
158
|
Коэффициен |
Стандартная |
t |
P |
Нижние |
Верхние |
Нижние |
Верхние |
|
ты |
ошибка |
статистика |
Значение |
95% |
95% |
95.0% |
95.0% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
229.123 |
94.969 |
2.413 |
0.021 |
36.122 |
422.123 |
36.122 |
422.123 |
X2 |
0.176 |
0.038 |
4.597 |
0.000 |
0.098 |
0.255 |
0.098 |
0.255 |
X5 |
0.645 |
0.039 |
16.336 |
1.15E-17 |
0.565 |
0.726 |
0.565 |
0.726 |
159
160
Результаты, полученные при расчете с использованием инструмента Регрессия надстройки Пакет анализа, совпали с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН при аргументе Константа имеющем значение ИСТИНА.
Расчет параметров экспоненциальной регрессии с использованием функции
ЛГРФПРИБЛ.
Для экспоненциальной аппроксимации в Excel существует функция
ЛГРФПРИБЛ(изв. зн. Y, изв. зн. X, константа, статистика) она возвращает массив значений описывающих кривую вида:
Y b m x1 |
m x3 |
m xn |
1 |
2 |
n |
изв. зн. Y – это известные значения функции изв. зн. X – это известные значения аргументов
константа – определяет чему должно равняться b, если константа имеет значение ЛОЖЬ то b полагается равным 1, иначе b вычисляется обычным образом.
статистика – если значение равно ИСТИНА то будет представлена дополнительная регрессионная статистика, если ЛОЖЬ то нет.
Для получения экспоненциальной регрессионной зависимости, с выводом всей статистической информации следует выделить диапазон I54:K58, нажать клавишу F2, и ввести формулу =ЛГРФПРИБЛ(P2:P38;N2:O38;1;1), после окончания ввода формулы нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter так как данная функция возвращает массив значений. В результате в данном диапазоне будет получена полная статистическая информация:
Экспоненциальная
зависимость
|
1. |
1. |
10 |
0002 |
00007 |
|
30.47 |
|
1. |
0. |
0. |
9E-05 |
000 |
|
046 |
|
0. |
0. |
# |
940 |
057 |
|
Н/Д |
|
26 |
|
# |
6.115 |
|
34 |
Н/Д |
|
1. |
0. |
# |
702 |
109 |
|
Н/Д |
Полученные числа имеют следующий смысл:
m |
mn |
… |
b |
n |
-1 |
|
|
S |
Sen |
… |
Se |
en |
-1 |
|
b |
R |
Sey |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
F |
Df |
|
|