ЭММ_методичка_ч_1

101

Таблица 5.9. Второе альтернативное оптимальное

Минимальную дальность перевозок для каждого из трех решений можно вычислить из исходной таблицы:

Решение 1: 68 + 60 + 35 + 45 - 208 миль;

Решение 2: 68 + 63 + 35 + 42 = 208 миль;

Решение 3: 72 + 56 + 35 + 45 = 208 миль.Общая дальность перевозок для всех трех решений одинакова.

Примечание: в задачах большей размерности, чем задача из примера 5.1. убедиться в том, что проведенное в соответствии г пунктом 1 этапа 3 число прямых является минимальным, гораздо труднее. В этой связи может оказаться полезным так называемое "правило правой руки":

1.Выбирается любая строка или столбец, содержащие только один нулевой

элемент.

2.Если выбрана строка, прямая проводится через столбец, в котором находился данный нулевой элемент.

3.Если выбран столбец, прямая проводится через строку, содержащую данный нулевой элемент.

4.Пункты 1-3 повторяются до тех пор, пока не будут учтены все входящие в таблицу нули.5.2. Особые случаи задачи о назначениях

103

Таблица 5.11. Модификация исходных данных и выявление минимальных

элементов

Минимальный (наибольший по абсолютной величине) элемент вычитается из всех элементов соответствующей строки.

Таблица 5.12. Вычитание минимального элемента по строкам и

выявление минимальных элементов по столбцам

Минимальный элемент вычитается из всех элементов соответствующего столбца.

Таблица 5.13. Вычитание минимального элемента по

столбцам

104

Дальнейший поиск оптимального решения осуществляется в соответствии с обычным алгоритмом (см. пример 5.1).

НЕДОПУСТИМЫЕ НАЗНАЧЕНИЯ Данную проблему можно решить так же, как и транспортную задачу. Если по

той или иной причине некоторое назначение является недопустимым, то в соответствующей клетке проставляется значение стоимости, которое заведомо больше любого другого значения. После этого в ходе реализации алгоритма мы сможем избежать данного назначения автоматически.

НЕСООТВЕТСТВИЕ ЧИСЛА ПУНКТОВ ПРОИЗВОДСТВА И НАЗНАЧЕНИЯ Если исходная таблица не является квадратной, в нее следует включить

дополнительные фиктивные строки и столбцы, необходимые для приведения ее к квадратной форме. Значения стоимости, соответствующие фиктивным клеткам, как правило, равны нулю.

Назначения, размещаемые в клетках фиктивных строк, фактически не существуют. Назначения, соответствующие фиктивным столбцам, на деле представляют собой те единицы, которые не подлежат распределению.

ЗАМЕЧАНИЕ

Транспортная модель — это частный случай модели линейного программирования. Стандартная задача включает в себя некоторое множество пунктов производства, например, несколько торговых складов, которые осуществляют поставки в некоторое множество пунктов назначения, например, в несколько магазинов. Цель состоит в минимизации общей стоимости транспортировки в рамках ограничений на спрос и предложение. Решение этой задачи может быть найдено с помощью традиционных методов линейного программирования. Относительно простая структура задачи позволяет, однако, разработать специальные алгоритмы, применение которых

105

оказывается более трудоемким, чем применение обычных методов решения задач линейного программирования со множеством переменных.

Первый шаг алгоритма состоит в построении транспортной таблицы, в которой содержится информация об издержках транспортировки. Строкам этой таблицы соответствуют пункты производства, а столбцам — пункты назначения.

Второй шаг алгоритма — это поиск начального распределения перевозок. Нами было описано два метода реализации данной процедуры. В методе минимальной стоимости перевозки распределяются в первую очередь по наиболее дешевым маршрутам. Метод Вогеля предполагает расчет значений штрафной стоимости и такое распределение перевозок, которое позволяет избежать получения высоких штрафов. Однако ни один из методов не гарантирует, что полученное начальное распределение перевозок окажется оптимальным.

Третий шаг состоит в проверке начального распределения перевозок на оптимальность. Мы изложили два метода проверки решения на оптимальность. Оба они основаны на вычислении значений теневых цен для незаполненных клеток. Если эти значения положительны или равны нулю для всех пустых клеток, то полученное распределение перевозок является оптимальным.

В методе ступенек в пустую клетку помещается одна единица продукции. Затем определяются натуральные и стоимостные изменения, происшедшие под воздействием такого размещения. Метод МОДИ в большей степени основан на математической теории. Используя значения стоимости перевозки в каждой заполненной клетке, мы получаем стоимость, соответствующую строке или столбцу:

cij = ui+vj

Используя значения компонент u и v, полученных для строк и столбцов соответственно, рассчитывают значения теневых цен, соответствующие всем пустым клеткам. Их расчет производится по формуле:

sij= cij-(ui+vj).

Реализация четвертого шага необходима только в случае, если полученное распределение перевозок является неоптимальным. Для осуществления перераспределения применяется ступенчатый цикл, соответствующий клетке с отрицательным значением теневой цены. Полученное решение вновь подвергается проверке на оптимальность.

106

Транспортная задача может иметь некоторые специфические особенности. Если предложение и спрос несбалансированны, то необходимо ввести в задачу фиктивные пункты производства или назначения. Оптимальное решение должно находиться в крайней точке допустимого множества, иными словами, должно быть базисным. Базисным называется решение, число переменных в котором равно числу строк в таблице плюс число столбцов минус единица. Если число переменных оказывается меньше указанной величины, то решение является вырожденным, и в

этом случае следует использовать пустые клетки, размещая в них псевдоперевозки, объем которых равен нулю.

Недопустимые маршруты могут быть блокированы введением в

соответствующие клетки таблицы достаточно больших значений стоимости транспортировки. Целевую функцию задачи можно не только минимизировать, но и максимизировать.

Еще более специфической задачей, для которой разработаны особые методы решения, является задача о назначениях. Число пунктов производства в этой задаче совпадает с числом пунктов назначения, причем каждой строке и каждому столбцу должно соответствовать только одно назначение. Для решения этой модифицированной транспортной задачи был разработан Венгерский метод.

Лабораторная работа № 5 Постановка и решения задачи о

назначении.

Цель: Научиться составлять модели и решать задачи о назначении. Решение задачи о назначении (Венгерский алгоритм). Проверка решения с помощью Excel.

Решение задачи о назначениях в Excel с использованием настройки Поиск решения

Задача о назначениях яляется частным видом линейной оптимизационной задачи. Наиболее часто задача о назначениях представляется следующим образом:

Имеются n рабочих и m видов работ. Стоимость cij выполнения i-м рабочим j- той работы приведена в таблице, где под строкой понимается рабочий, а под столбцом - работа. Необходимо составить план работ так чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был занят только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была бы минимальной.

107

Решение задачи о назначениях очень похоже на решение транспортной задачи. Особеность лишь в том, что плановые переменные могут принимать только значения 0 или 1 и в каждом столбце и строке может быть только одно ненулевое значение. Для решения задачи о назначениях в Excel с использованием настройки Поиск решения следует выделить ячейки назначений и подсчитать для них суммы по столбцам и по строкам. В ячейку целевой функции следует ввести формулу вычисляющую сумму произведений стоимости работы на план назначений.

После чего следует выбрать в Excel пункт меню Данные/Поиск решения, в окне Поиск решения выбрать целевую ячейку, изменяемые ячейки и добавить ограничения. Как правила используются ограничения следующего вида:

1.Неотрицательность значений изменяемых ячеек;

2.Суммы значений изменяемых ячеек для каждой строки и столбца должны быть равны 1;

3.Иногда бывает необходимо задать целечисленные ограничения на изменяемые ячейки.

Далее следует нажать кнопку Выполнить, после чего будет получено решение

задачи о назначениях.

Довольно часто задача о назначениях бывает представлена в так называемом несбалансированном виде (количество работ не равно количеству работников). В этом случае для приведения задачи о назначениях к сбалансированному виду следует добавить в таблицу одну или несколько фиктивных работ или работников.

Задание 1.Решение задачи о назначениях.

Имеются n рабочих и m видов работ. Стоимость cij выполнения i-м рабочим j- той работы приведена в таблице, где под строкой понимается рабочий, а под столбцом - работа. Необходимо составить план работ так чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был занят только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была бы минимальной.

108

В результате должен получится следующий результат:

2.Математическая модель задачи.

Переменными xi,j обозначим назначение с i-го рабочего на j-ую пункт работу. xi,j может принимать значения 1 (назначен) и 0 (не назначен). сi,j – стоимость выполнения

109

i-м рабочим j-той работы. i 1,n , j 1,m . Так как количество рабочих превышает количество работ, то не всем рабочим будет назначена работа.

cij xij min

i j

xij 1

i

xij 1

j

xij 0

i 1,n

j 1,m

3.Решение задачи средствами MS Excel.

В качестве переменных хij будем использовать диапазон B10:E14. Для значения целевой функции будем использовать ячейку С18 в которую введем формулу =СУММПРОИЗВ(B2:E6;B10:E14). Функция СУММПРОИЗВ перемножает соответствующие элементы заданных массивов и возвращает сумму произведений. Для вычисления ограничений задачи используется функция СУММ. Функция СУММ суммирует все числа в интервале ячеек.

Далее выбираем пункт меню Данные/Поиск решения:

110

Открывается диалоговое окно Поиск решения. В нѐм указываем, что нам необходимо установить ячейку С18 минимальному значению, изменяя ячейки B10:E14. Далее нажимаем кнопку Добавить для добавления ограничений. И добавляем следующие ограничения:

(неотрицательность)