
GEOMETRIYa_1
.doc
ГЕОМЕТРИЯ
-
Аффинные пространства. Аффинные координаты. Формулы преобразования аффинных координат точек.
-
Плоскости в аффинных пространствах.
Плоскость
определенной точкой
и двумя неколлинеарными векторами
называется множество точек аффинного
пространства
такое что
.
- числа (параметры)
- векторно-параметрическое
уравнение плоскости
– опорная точка
- базисные векторы
плоскости
- общее
уравнение плоскости
Одномерная плоскость – прямая.
Если m = n – 1, то плоскость называется гиперплоскостью.
- параметрическое
уравнение n-мерной
плоскости
Если ранг = 1, то плоскости совпадают.
Если ранг матрицы = 2, то плоскости пересекаются по прямой.
Плоскости называются
параллельными,
если
либо
(ранг
матрицы =1 ранг расширенной матрицы = 2)
Плоскости называются скрещивающимися, если они не параллельны и не имеют общих точек.
-
Аксиомы скалярного умноження. Евклидовые векторные пространства. Евклидовые точечно-векторные пространства.
4.Угол между векторами. Ортогональные векторы. Ортонормированные базисы и прямоугольные координаты.
5. Векторное и смешанное произведение.
6. Теория прямых на аффинной плоскости.
7.Теория прямых на евклидовой плоскости.
8. Эллипс, гипербола, парабола.
9.Площини у 3-вимірному афінному та евклідовому просторі.
Плоскость в трехмерном аффинном
пространстве
может быть задана:
1) векторно параметрическим уравнением
,
где a, b –
неколлинеарные направленные векторы
плоскости,
- радиус-вектор фиксированной точки
плоскости.
Возьмем теперь в пространстве аффинную
систему координат Охyz.
Пусть в этой системе координат точки и
векторы имеют соответствующие координаты
.
Тогда в заданной системе координат
уравнения
равносильные трем уравнениям для
координат:
.
Эти уравнения называются параметрическими
уравнениями плоскости.
2) общим уравнением
.
Система уравнения или эквивалентна ее
системе
выражает
линейную зависимость рядов матрицы
или
уравнение
где
Уравнение можно назвать общим уравнением
плоскости, которая проходит через тоску
.
Уравнением плоскости, которое проходит
через три точки с координатами
,
которое не лежит на одной прямой, можно
записать в виде
Пусть плоскость проходит через точки
где
.
Тогда уравнение этой плоскости можно
записать в виде
.
Это уравнение называют уравнением
плоскости в отрезках.
Прямая линия в пространстве может быть задана:
1) векторно параметрическим уравнением
,
где а – направленный вектор прямой,
- радиус-вектор фиксированной точки
прямой.
Если уравнение
записать в аффинной системе координат,
то получим параметрическое уравнение
прямой в пространстве:
.
Включением параметра параметрические
уравнения сводится к канонической
форме
.
Уравнение прямой, которое проходит
через две разные точки, можно задать в
векторной форме
,
где
- радиус-вектор данных точек, а
- их аффинные координаты.
Прямую l можно задать как линию пересечения
20. Відстань точки до прямої на площині і в просторі. Відстань між мимобіжними прямими.
15. Топологическое пространство.
Пример:
16. Визначення кривої в диференціальної геометрії. Елементарна, проста та загальна крива. Регулярна крива. Способи завдання кривих.
17. Кривина та скрут кривої. Тригранник Френе.
Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе
-
Формули Френе.
Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе)
Если рёбра естественного трёхгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то уравнение кривой в естественной параметризации раскладывается в окрестности этой точки в ряд по координате вдоль кривой.
С помощью Френе формулы исследуются дифференциально-геометрические свойства
кривых линий.
19.Лінії на поверхні (лінії кривини, асимптотичні лінії ).