5. Лінійні порівняння з однією змінною.

Сравнения первой степени с одним неизвестным имеют вид ax ≡ b (mod m), где a, b, n – целые, n > 0.

Решить сравнение – значит, найти все целые значения переменной x, удовлетворяющие сравнению.

При решении сравнения ax ≡ b (mod m) возможны случаи:

• если b не кратно d, то у сравнения нет решений;

• если (a, m) = 1, то (1) имеет одно решение;

• если (a, m) = d > 1 и d делит b, то (1) имеет d решений;

В этом случае в результате сокращения исходного сравнения на d получается сравнение: где , и являются целыми числами, причем и взаимно просты. Поэтому число можно обратить по модулю , то есть найти такое число c, что (другими словами, . Теперь решение находится умножением полученного сравнения на c:

6. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма зображення комплексного числа.

Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма a + bi, где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица (одно из решений уравнения x² = − 1).

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z² + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z² + 1.

Каждое комплексное число z = a + bi однозначно определяется действительными числами Rez = a, Imz= b которые называются действительной и соответственно мнимой частями числа z. Таким образом имеем z = Rez + iImz, .

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде a + bi, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Понятия действительной и мнимой части комплексного числа и адгебраическая форма комплексных чисел естественно определяют преобразования:

которые мы будем называть внутренними каноническими проектированиями поля C.

Утверждение: внутренние канонические проектирования поля комплексных чисел удовлетворяют условиям:

– нулевое преобразование

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (, ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

7. Кільце многочленів над довільним полем. Теорема про ділення з остачею у кільці многочленів.

8. Найбільший спільний дільник многочленів. Алгоритм Евкліда.

9. Розкладання многочлена в добуток незвідних множників та його єдиність.

10. Теорема про існування кореня многочлена у полі комплексних чисел.

Канонічний розклад многочлена над полями комплексних та дійсних чисел.

11. Системи лінійних рівнянь. Поняття рангу. Теорема Кронекера- Капеллі.

Пусть имеется несколько линейных уравнений от переменных . Данные уравнения образуют систему линейных уравнений, если ставится задача найти все такие упорядоченные n-ки чисел , которые являются решением каждого из этих уравнений.

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченной n-кой чисел , которая является решением каждого уравнения из системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений назыв совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если у нее нет решений.

Система линейных уравнений назыв определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Слу назыв.ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:1) в каждом уравнении системы есть коэф. не равные нулю; 2) в каждом уравнении системы начиная со второго номер первого ненулевого коэф. больше номера предыдущего уравнения. В каждом уравнении ступенчатой слу начиная со второго первый ненулевой коэф. расположен правее первого ненулевого коэф. в предыдущем уравнении.

Теорема (о ступенчатой слу): В ступенчатой слу число уравнений m не ревосходит числа неизвестных n. Если m=n, то слу имеет убедит. единственное решение (т.е. явл.определеннным), если же число ур. Меньше числа неизвестных m<n, то ступ.слу. имеет бесчисленное число решений, при условии, что рассм.над числовым полем.

Две слу от одних и тех же неизвестных наз. равносильными, если каждое решение одной из них явл. решением другой.

Элементарными преобразованиями слу назыв. следующ.преобразования:1) перестановка местами 2-х каких-либо уравнений СЛУ; 2) умножение всех коэф. и свободного члена какого-либо уравнения слу на одно и то же число ; 3) прибавление ко всем коэф. и свободным членам какого-либо уравнения слу, соответ.коэф. и свободного члена другого урав.слу умножен. На одно и то же число ; 4) удаление из слу тривиального уравнения.

Теорема (об элементарных преобразованиях): если некоторая слу получается из другой слу при помощи конечного числа элементарных преобразований, то эти слу равносильны.

Теорема: если в слу не все коэф. равны 0, то при помощи конечного числа элементарных преобразований эта слу может быть преобразована в равносильную ступенчатую слу или слу содержащ. противоричивое уравнение.

Рангом конечной системы векторов из назыв натуральное число r такое, что выпол условия: 1) найдется подсистема систем состоящий из r-векторов, которая л/нз; 2) любая подсистема систем содержащая более чем r векторов л/з.

Т. о, ранг – это мах число л/нз векторов в этой системе. Обозначается - .

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений (слу) совместна <=> когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Док-во: Пусть дана слу (1). Обозначим через А и В соответственно матрицу и расширенную матрицу этой слу, а через - столбцы матрицы А, а через в – столбец свободных членов.

1) Пусть (1) совместна, требуется доказать, что . Т.к. система совместна, то по вспомогательной лемме (слу совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов линейно выражается ч/з столбцы матрицы системы), вектор в линейно выражается через векторы и тогда имеем =(т.к. вектор в линейно выражается через векторы , то в можно удалить и ранг не измениться)==>

2) Пусть . Т.к. среди столбцов матрицы А найдется л/нз система столбцов () . Эти столбцы одновременно являются столбцами матрицы В и т.к. их число совпадает с рангом матрицы В (), то они образуют базис системы столбцов матрицы В (по теореме о базисе- Пусть S произв. конечная сист. векторов из ; л/нз подсистема системы S образует базис сис. S  когда число векторов в этой сис.совпадает с рангом сис. S, ). В таком случае вектор в будет линейно выражаться ч/з векторы , а => вектор в будет линейно выражаться и ч/з всю систему столбцов м.А. По вспомогательной лемме слу (1) совместна. ч.т.д.