
- •Кільце цілих чисел. Теорема про ділення з остачею.
- •2. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Канонічний розклад складеного числа та його єдиність.
- •Порівняння в кільці цілих чисел та їх властивості.
- •Кільце класів лишків за даним модулем. Теореми Ейлера та Ферма.
- •Лінійні порівняння з однією змінною.
- •Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма зображення комплексного числа.
- •Визначник квадратної матриці та його властивості. Теорема Крамера.
- •Векторний простір. Базис та розмірність.
- •Підпростори та лінійні многовиди векторного простору.
- •Лінійний оператор і його матричне зображення.
- •Власні значення та власні вектори лінійного оператора. Зведення матриці лінійного оператора до діагонального виду.
- •Група. Найпростіші властивості груп. Теорема Келі про зображення групи підстановками.
-
Кільце цілих чисел. Теорема про ділення з остачею.
Действительные числовые
полукольца аддетивная полугруппа
которых является группой
называются кольцами.
Множество
таким образом является
действительным кольцом которое мы
называем кольцом целых чисел.
Деление c остатком – арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.
Теорема (о делении с остатком): для
любого целого а и целого
существуют и единственные целые q
и r, такие что
.
Доказательство:
Докажем сначала существование деления с остатком. Рассмотрим все случаи, которые здесь могут представиться.
1)
– любое целое число,
.
Рассмотрим множество всех чисел, кратных
числа
,
и расположим его в порядке возрастания:
.
Пусть
– наибольшее кратное числа
,
не превышающее
.
Тогда
,
но
,
то есть
,
откуда
.
Положив
,
получим:
,
.
2)
– целое число,
.
Так как
,
то согласно случаю 1) деление
на
возможно, а это означает существование
таких целых чисел
и
,
что
,
,
или
,
.
Теперь докажем единственность
деления с остатком. Пусть деление
на
не единственно, то есть существуют два
неполных частных
и
и два остатка
и
такие, что
Тогда
,
или
,
но так как
,
то равенство возможно лишь при условии
.
Следовательно,
,
но тогда
.
Единственность доказана.
Замечание
1.
В частности, если
,
то
и
делится на
.
Замечание
2. Если
то q
называется неполным частным, а
r
– остатком от деления a
на b.
-
2. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Канонічний розклад складеного числа та його єдиність.
Число
назовем простым если
.
Множество всех простых натуральных
чисел обозначают через
.
Простота – это характеристическое
свойство наименьшего неединичного
делителя любого натурального числа.
Целое положительное число р> 1 называется простым, если оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и р. Целое положительное число m > 1 называется составным, если оно имеет по крайней мере один положительный делитель отличный от 1 и m. В соответствии с определениями все множество целых положительных чисел можно разбить на три подмножества: простые числа, составные числа, 1.
Замечание: существует единственное простое четное число – 2. Все остальные четные числа являются составными.
Перечислим свойства простых чисел.
Теорема
1: если
р и р1
– простые числа и рр1,
то р не делится на р1
.
Теорема 2: если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р.
Теорема
3: (основная
теорема арифметики) всякое целое
положительное число, отличное от единицы,
может быть представлено в виде произведения
простых сомножителей и притом единственным
образом (с точностью до порядка следования
сомножителей), т. е. каждое натуральное
число n>1
представляется в виде
,
где
- простые числа, причем такое преставление
единственно с точностью до порядка
следования сомножителей.
Как
следствие, каждое натуральное число n
единственным образом представимо в
виде
,
где
- простые числа и
- некоторые натуральные числа. Такое
представление числа n называется его
каноническим
разложением
на простые сомножители.